Выражения, функции, степени, многочлены и системы уравнений — вся программа года на одной странице
👇 Нажми на заголовок главы, чтобы раскрыть её состав. Значок ✅ урок готов означает готовый интерактивный урок.
Фундамент всего года: повторяем и расширяем то, что знали из 5–6 классов, — числа, выражения, первые уравнения. Это «азбука» алгебры.
Множества чисел N, Z, Q и цепочка N ⊂ Z Q; периодические дроби и почему на ноль делить нельзя.
Порядок действий и выражения, которые «не имеют смысла» из-за деления на ноль.
Подстановка значений, выражение-«машина» и формулы чётных и нечётных чисел.
Равенства и неравенства, двойные неравенства, строгие и нестрогие знаки ≥ и ≤.
Переместительное, сочетательное и распределительное свойства; как считать быстро, группируя числа.
Тождественно равные выражения, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок со знаками «+» и «−».
Что такое корень уравнения, когда корней нет, и равносильные уравнения с их свойствами.
Уравнение вида ax = b и его три случая: один корень, нет корней, бесконечно много.
Алгоритм «обозначь → составь → реши → истолкуй» на текстовых задачах.
Выражаем одну величину через другую; версты, пуды и фаренгейты как формулы.
Учимся видеть зависимости между величинами и описывать их формулами и графиками: от числовых промежутков до прямой y = kx + b.
Отрезок, интервал, луч и окрестность на координатной прямой.
Зависимость одной величины от другой: аргумент, значение функции, область определения.
Подставляем аргумент в формулу и заполняем таблицы значений.
Как читать и строить график по точкам и что он «рассказывает» о процессе.
Формула y = kx и почему её график — прямая через начало координат.
y = kx + b: как k наклоняет прямую, а b сдвигает её вверх или вниз.
Разные формулы на разных промежутках и их «лоскутные» графики.
Степень — компактная запись повторного умножения. Осваиваем свойства степеней, знакомимся с одночленами и параболами.
Основание и показатель; чему равна степень с показателем 1 и 0.
Правила сложения и вычитания показателей при умножении и делении.
Степень степени и степень произведения — за один шаг.
Приводим одночлен к порядку: коэффициент впереди, степени букв следом.
Свойства степеней в действии над одночленами.
Парабола и кубическая парабола: форма, симметрия, свойства.
Почему любое число раскладывается на простые множители единственным способом.
Многочлены — выражения «со многими слагаемыми». Учимся их складывать, умножать и раскладывать на множители.
Члены многочлена, стандартный вид и степень многочлена.
Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.
Распределительное свойство: умножаем каждый член многочлена.
Обратный ход умножения: выносим общую часть за скобки.
Правило «каждый с каждым» без потери слагаемых.
Группируем члены, когда общего множителя у всех нет.
Делим многочлен на многочлен «уголком», как числа с остатком.
«Волшебные» формулы, которые позволяют умножать и раскладывать выражения за секунды — без унылого раскрытия скобок.
Формулы (a ± b)² и (a ± b)³ и их геометрический смысл.
Узнаём полный квадрат в трёхчлене и сворачиваем его.
Формула (a − b)(a + b) = a² − b² и её применение.
Формула в обратную сторону: из разности — в произведение.
Формулы a³ ± b³ и их «хвост» с неполным квадратом.
Цепочки преобразований со скобками — без потери знаков.
Выбираем лучший способ: вынесение, формулы, группировка.
Как возвести в квадрат сумму трёх и более слагаемых.
Финал года: два неизвестных, два уравнения и два способа решения систем — плюс задачи, которые иначе не поддаются.
Решение — уже не число, а пара чисел (x; y).
Почему все решения выстраиваются в прямую линию.
Что значит решить систему: точка пересечения двух прямых.
Выражаем одну переменную через другую и подставляем.
Складываем уравнения так, чтобы переменная «исчезла».
Два неизвестных, два условия задачи — одна система.
Полуплоскости и штриховка решений на координатной плоскости.