Глава 1 • §3, п. 8

Линейное уравнение с одной переменной

Один корень, ни одного или миллион — всё решает коэффициент

Привет! 👋 На прошлом уроке мы узнали, что уравнения могут иметь разное число корней. Сегодня выясним, почему так происходит и как за пару шагов решать целое семейство уравнений — линейные.Spoiler: всё решает одна-единственная буква — коэффициент!

📐 Какое уравнение называется линейным?

Посмотри на эти уравнения:

5x = -4   -0,2x = 0   -x = -6,5

Все они имеют вид ax = b, где x — переменная, а a и b — числа. В первом: a = 5, b = -4; во втором: a = -0,2, b = 0; в третьем: a = -1, b = -6,5.

📌 Определение

Уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и b — некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

🎰 Три случая: сколько корней у ax = b?

Всё зависит от того, чему равен коэффициент a:

a ≠ 0

Один корень
x = b : a
делим обе части на a

a = 0, b ≠ 0

Корней нет
0x = b — неверно
ни при каком x 🚫

a = 0, b = 0

Корень — любое число
0x = 0 — верно
при любом x ✅

⚠️ Главная идея

Если при решении ты дошёл до строки 0x = ... — не дели! Остановись и посмотри на правую часть: не ноль — корней нет, ноль — корень любое число.

🪜 Решение сводится к линейному

Пример из учебника: решим 4(x + 7) = 3 - x

  1. Раскроем скобки: 4x + 28 = 3 - x
  2. Перенесём -x влево, а 28 вправо с противоположными знаками: 4x + x = 3 - 28
  3. Приведём подобные: 5x = -25
  4. Разделим обе части на 5: x = -5

Каждый шаг мы заменяли уравнение равносильным — корни не терялись и не появлялись лишние.

А если коэффициент стал нулём?

Случай «корней нет»

2x + 5 = 2(x + 6) → 2x + 5 = 2x + 12 → 2x - 2x = 12 - 5 → 0x = 7 🚫

Равенство неверно ни при каком x — значит, уравнение не имеет корней.

Случай «корень — любое число»

3(x + 2) + x = 6 + 4x → 4x + 6 = 6 + 4x → 0x = 0 ✅

Равенство верно при любом x — значит, корнем является каждое число.

🍎 Где это встречается в жизни?

Задача про яблоки (из §9 учебника)

В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине?

БылоСтало
Корзинаxx - 10
Ящик2x2x + 10
5(x - 10) = 2x + 10 → 5x - 50 = 2x + 10 → 3x = 60 → x = 20

В корзине было 20 яблок, в ящике 2 · 20 = 40. Проверка: стало 10 и 50 — действительно в 5 раз больше! ✅

🎯 Методическая подсказка

🔥 Лайфхак: универсальные 4 шага решения любого линейного уравнения

Не знаешь, с чего начать? Действуй по алгоритму — он работает всегда. Покажем на уравнении, которого нет в заданиях: 3(x - 2) = 2x + 1

Шаг 1. Раскрой скобки (если они есть): 3x - 6 = 2x + 1
Шаг 2. Перенеси слагаемые с буквой — влево, числа — вправо, меняя знак: 3x - 2x = 1 + 6
Шаг 3. Приведи подобные — получи вид ax = b: 1x = 7, то есть x = 7
Шаг 4. Проверь коэффициент a: если a ≠ 0 — дели и записывай корень; если получилось 0x = 5 — корней нет 🚫; если 0x = 0 — корень любое число ✅
Проверка подстановкой: левая: 3 · (7 - 2) = 15; правая: 2 · 7 + 1 = 15 → совпало ✅

🪜 В задании 4 применишь тот же алгоритм к уравнению 5x + (3x - 3) = 6x + 11 — попробуй сам(а), а потом сверься!

✏️ Проверь себя

Задания идут от простого к сложному. Нажми "Проверить", чтобы увидеть ответ!

🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 1 (№145 а, е, и из учебника)

Найди корень уравнения:

а) 5x = -60;   е) 0,5x = 1,2;   и) 0,7x = 0

Решение (делим обе части на a):
а) x = -60 : 5 = -12
е) x = 1,2 : 0,5 = 2,4
и) x = 0 : 0,7 = 0
Во всех случаях a ≠ 0 — значит, корень единственный.
🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 2 (№147 а, б из учебника)

Найди корень уравнения:

а) 5x - 150 = 0;   б) 48 - 3x = 0

Решение:
а) 5x = 150 → x = 150 : 5 = 30
б) -3x = -48 → x = -48 : (-3) = 16
Проверка б): 48 - 3 · 16 = 48 - 48 = 0 ✅
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 3 (№148 а, в из учебника)

Реши уравнение:

а) 2x + 9 = 13 - x;   в) 0,5a + 11 = 4 - 3a

Решение:
а) 2x + x = 13 - 9 → 3x = 4 → x = 4 : 3 = 1 1/3
в) 0,5a + 3a = 4 - 11 → 3,5a = -7 → a = -7 : 3,5 = -2
Корень может быть и дробным — это нормально!
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 4 (№152 а, в из учебника)

Реши уравнение:

а) 5x + (3x - 3) = 6x + 11;   в) (x - 7) - (2x + 9) = -13

Решение:
а) 5x + 3x - 3 = 6x + 11 → 8x - 6x = 11 + 3 → 2x = 14 → x = 7
в) x - 7 - 2x - 9 = -13 (минус перед скобкой поменял знаки!) → -x - 16 = -13 → -x = 3 → x = -3
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 5 (№156 а, б из учебника)

Реши уравнение:

а) 2x + 5 = 2(x + 1) + 11;   б) 5(2y - 4) = 2(5y - 10)

Решение:
а) 2x + 5 = 2x + 2 + 11 → 2x - 2x = 13 - 5 → 0x = 8 → корней нет 🚫
б) 10y - 20 = 10y - 20 → 10y - 10y = -20 + 20 → 0y = 0 → корень — любое число ✅
Вот они, два особых случая из карточек!
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 6 (№154а и №155а из учебника)

При каком значении переменной:

а) значения выражений 2m - 13 и m + 3 равны;

б) значение выражения 5y + 3 равно значению выражения 36 - y?

Решение (составляем уравнение):
а) 2m - 13 = m + 3 → 2m - m = 3 + 13 → m = 16
   Проверка: 2 · 16 - 13 = 19 и 16 + 3 = 19 ✅
б) 5y + 3 = 36 - y → 5y + y = 36 - 3 → 6y = 33 → y = 5,5
   Проверка: 5 · 5,5 + 3 = 30,5 и 36 - 5,5 = 30,5 ✅

📝 Главное, что нужно запомнить