Глава 1 • §3, п. 7

Уравнение и его корни

Сколько корней может спрятаться в одном уравнении?

Привет! 👋 Сегодня ты познакомишься с главным героем всей алгебры — уравнением. Уравнения умеют разгадывать загадки: про полки с книгами, про возраст, про скорость поездов. Начнём с настоящей загадки из учебника!

📚 Уравнение рождается из задачи

Загадка про полки

«На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке?»

📝 Обозначаем и составляем

Пусть x — книг на верхней полке. Тогда на нижней — 4x.

После перестановки: на нижней 4x - 15, на верхней x + 15. По условию их стало поровну:

4x - 15 = x + 15

Мы получили равенство с переменной — это и есть уравнение с одной переменной.

Решаем уравнение

  1. 4x - x = 15 + 15 (перенесли слагаемые с изменением знака)
  2. 3x = 30 (привели подобные)
  3. x = 10 (разделили обе части на 3)

Уравнение имеет один корень — число 10. Проверка: на нижней полке 40 книг; после перестановки 40 - 15 = 25 и 10 + 15 = 25 — поровну! ✅

📌 Определение

Корнем уравнения с одной переменной называется такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

🔢 Сколько корней может быть?

Не думай, что корень всегда один! Посмотри на карточки:

0
x + 2 = x

левая часть всегда на 2 больше

1
4x - 15 = x + 15

корень x = 10

2
x² = 4

корни 2 и -2

3
(x-4)(x-5)(x-6) = 0

корни 4, 5 и 6

⚠️ А бывает и бесконечно много!

Уравнение 1,4(y + 5) = 7 + 1,4y верно при любом y — значит, каждое число является его корнем.

📌 Что значит «решить»

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

⚖️ Равносильные уравнения и их свойства

Уравнение — это весы в равновесии: левая и правая части равны. Если проделать одинаковую операцию с обеими чашами — равновесие сохранится.

4x - 15 x + 15
левая часть
правая часть

Схема: уравнение — это равновесие двух частей

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Уравнения без корней тоже считаются равносильными друг другу.

📌 Свойство 1 (перенос слагаемых)

Если перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, получится равносильное уравнение:

5x = 2x + 7  ⇔  5x - 2x = 7

📌 Свойство 2 (умножение и деление)

Если обе части умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, получится равносильное уравнение:

6x = 2x + 8  ⇔  3x = x + 4 (обе части разделили на 2)

Именно этими свойствами мы пользуемся, когда решаем уравнение шаг за шагом: каждое следующее уравнение равносильно предыдущему — значит, корни не теряются и не появляются лишние!

🎯 Методическая подсказка

🔥 Лайфхак: корень ли это число? Подставь и сравни обе части!

Сначала разберёмся, как устроено уравнение. Любое уравнение состоит из двух частей, разделённых знаком «=»:

Устройство уравнения: возьмём 2x + 6 = 14
ЛЕВАЯ часть: 2x + 6  =  ПРАВАЯ часть: 14

Корень — это такое значение x, при котором обе части становятся РАВНЫ. Значит, проверка простая: подставь число в обе части, вычисли каждую и сравни результаты.

Шаг 1. Возьми число для проверки. Пусть x = 4
Шаг 2. Подставь его в ЛЕВУЮ часть и вычисли: 2 · 4 + 6 = 8 + 6 = 14
Шаг 3. Подставь его в ПРАВУЮ часть и вычисли: справа стоит 14
Шаг 4. Сравни результаты: 14 = 14 → части совпали → x = 4 — это корень ✅
А теперь проверка «не корня»: возьмём x = 3.
Левая часть: 2 · 3 + 6 = 12; правая часть: 14.
12 ≠ 14 → части НЕ совпали → x = 3 — НЕ корень 🚫

⚖️ В задании 1 сделаешь то же самое: подставь число 3 в обе части уравнения 5(2x - 1) = 8x + 1 и сравни, что получится!

✏️ Проверь себя

Задания идут от простого к сложному. Нажми "Проверить", чтобы увидеть ответ!

🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 1 (№130 из учебника)

Является ли число 3 корнем уравнения:

а) 5(2x - 1) = 8x + 1;   б) (x - 4)(x + 4) = 7?

Решение (подстановка в обе части):
а) левая: 5 · (2 · 3 - 1) = 5 · 5 = 25; правая: 8 · 3 + 1 = 25; 25 = 25 → да, корень ✅
б) левая: (3 - 4)(3 + 4) = (-1) · 7 = -7; правая: 7; -7 ≠ 7 → не корень 🚫
🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 2 (№132 из учебника)

Является ли корнем уравнения x(x - 5) = 6 число: 1; -1; 6; -6?

Проверяем подстановкой:
x = 1: 1 · (1 - 5) = -4 ≠ 6 — нет
x = -1: (-1) · (-1 - 5) = 6 — да ✅
x = 6: 6 · (6 - 5) = 6 — да ✅
x = -6: (-6) · (-6 - 5) = 66 ≠ 6 — нет
Ответ: корни — числа -1 и 6
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 3 (№136 из учебника)

Имеет ли корни уравнение:

а) 2x + 3 = 2x + 8;   б) 2y = y²?

Решение:
а) 2x - 2x = 8 - 3 → 0x = 5 → равенство неверно ни при каком x → корней нет 🚫
б) y² - 2y = 0 → y(y - 2) = 0 → y = 0 или y = 2 → имеет два корня ✅
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 4 (№139 из учебника)

Имеет ли уравнение корни и, если имеет, то сколько:

а) |x| = 1;   б) |x| = 0;   в) |x| = -5;   г) |x| = 1,3?

Ответ:
а) два корня: x = 1 и x = -1
б) один корень: x = 0
в) корней нет (модуль не может быть отрицательным!) 🚫
г) два корня: x = 1,3 и x = -1,3
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 5 (№137 из учебника)

Какое из уравнений не имеет корней: 3x + 11 = 3(x + 4) + 1 или 33x = 18x?

Решение:
Первое: 3x + 11 = 3x + 12 + 1 → 3x + 11 = 3x + 13 → 11 = 13 — неверно → корней нет 🚫
Второе: 33x - 18x = 0 → 15x = 0 → x = 0 — корень есть ✅
Ответ: не имеет корней первое уравнение
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 6 (№135 из учебника)

Докажи, что:

а) корнем уравнения 1,4(y + 5) = 7 + 1,4y является любое число;

б) уравнение y - 3 = y не имеет корней.

Доказательство:
а) левая часть: 1,4(y + 5) = 1,4y + 7; правая: 7 + 1,4y. Части равны при любом y → любое число является корнем ∎
б) y - 3 = y → y - y = 3 → 0y = 3 → 0 = 3 — неверно ни при каком y → корней нет ∎

📝 Главное, что нужно запомнить