Глава 2 • §4, п. 11

Числовые промежутки

Как математика описывает всё, что «от и до»

Привет! 👋 Начинается новая глава — «Функции», и первым делом нам понадобятся числовые промежутки. Смотри: в прогнозе погоды сказано, что завтра температура будет от −3 °С до +5 °С. А на дороге ограничение: скорость не меньше 40 и не больше 60 км/ч. Всюду вокруг — множества чисел «от и до»! Сегодня ты научишься записывать их коротко и красиво — и сразу тремя способами: неравенством, скобками и картинкой на прямой. 🚀

📏 Четыре вида промежутков «от и до»

Пусть a < b. Отметьте на координатной прямой две точки: a и b. Какие числа живут между ними? Это зависит от того, входят ли сами границы в множество.

📌 Определения

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию a ≤ x ≤ b, изображается на координатной прямой отрезком. Его называют числовым отрезком (или просто отрезком) и обозначают [a; b].

Множество чисел, удовлетворяющих условию a < x < b, называют интервалом и обозначают (a; b).

Множества чисел, для которых выполняются двойные неравенства a ≤ x < b и a < x ≤ b, называют полуинтервалами и обозначают соответственно [a; b) и (a; b].

Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежутками.

Посмотри, как одно и то же «от −2 до 5» превращается в четыре разных промежутка — всё зависит от границ!

Отрезок [−2; 5]

−2 ≤ x ≤ 5

Интервал (−2; 5)

−2 < x < 5

Полуинтервал [−2; 5)

−2 ≤ x < 5

Полуинтервал (−2; 5]

−2 < x ≤ 5

📌 Как читать обозначения

[−2; 5] — «отрезок от −2 до 5»; (−2; 5) — «интервал от −2 до 5»; [−2; 5) и (−2; 5] — «полуинтервал от −2 до 5». Границы внутри скобок разделяют точкой с запятой — потому что запятая уже занята десятичными дробями!

🔗 Знак ↔ скобка ↔ точка

Три записи одного и того же промежутка всегда согласованы между собой:

Неравенство	Обозначение	Название	Точки на прямой
a ≤ x ≤ b	[a; b]	отрезок	обе закрашены
a < x < b	(a; b)	интервал	обе пустые
a ≤ x < b	[a; b)	полуинтервал	a закрашена, b пуста
a < x ≤ b	(a; b]	полуинтервал	a пуста, b закрашена

🚫 Частая ошибка

Написать x < 5 в виде […; 5]. Квадратная скобка возле 5 означает, что число 5 входит в промежуток, а по условию — нет! Правильно: […; 5) — скобка круглая.

➡️ Лучи: когда граница только одна

А что, если числа идут в одну сторону «до бесконечности»? Например, «все числа, которые не меньше −2». Тогда множество превращается в луч:

x ≥ −2

закрытый луч

x > −2

открытый луч

x ≤ 3

закрытый луч

x < 3

открытый луч

Луч x ≥ a называют закрытым — начало луча входит в множество (точка закрашена). Луч x > a — открытым: начало не входит (точка пуста). То же самое для лучей влево: x ≤ a и x < a.

📐 Расстояние между точками координатной прямой

Из курса 5–6 классов ты знаешь: расстояние от точки с координатой x до начала отсчёта равно |x| — модулю числа. А как найти расстояние между двумя точками?

📌 Правило

Расстояние между точками A(a) и B(b) равно модулю разности их координат:

AB = |b − a|

Проще говоря: из большей координаты вычти меньшую. Правило работает для любых координат — и положительных, и отрицательных.

Пример

С отрицательными координатами всё так же: если M(−4) и N(3), то MN = 3 − (−4) = 3 + 4 = 7.

⚠️ Проверка на здравый смысл

Расстояние не может быть отрицательным! Если в ответе получился «минус» — значит, вычитание наоборот: из большей координаты нужно вычитать меньшую. Поменяй местами или возьми модуль.

🎯 Методическая подсказка

🔥 Лайфхак: у каждой границы — три «образа», и они должны совпадать

У любого промежутка есть границы. Каждая граница записывается сразу тремя способами: знаком в неравенстве, скобкой в обозначении и точкой на прямой. Выучи два соответствия — и ошибки исчезнут:

Нестрогий знак ≤ или ≥ (с «перекладиной») → квадратная скобка → закрашенная точка: граница ВХОДИТ в промежуток.

Строгий знак < или > (без «перекладины») → круглая скобка → пустая (выколотая) точка: граница НЕ входит в промежуток.

Проверим на примере (его нет в заданиях): промежуток [2; 3). Число 2,5: 2 ≤ 2,5 < 3 — верно ✅, число входит. Число 3: 3 < 3 — неверно 🚫, число не входит. Недаром у тройки круглая скобка и пустая точка!

Типичная ошибка: записать −1 ≤ x < 4 в виде [−1; 4]. Квадратная скобка возле 4 означает, что 4 входит, — а это уже другое множество! Правильно: [−1; 4).

🧩 В задании 3 сделаешь то же самое: рассмотришь закрашенные и пустые точки на рисунках и запишешь промежутки с правильными скобками!

✏️ Проверь себя

Задания идут от простого к сложному. Нажми «Проверить», чтобы увидеть ответ!

🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 1 (№250 из учебника)

Изобрази на координатной прямой числовой промежуток, заданный неравенством:

а) x < −3; б) −3 ≤ x < 6; в) −3 ≤ x ≤ 2; г) −4 < x < 2.

Решение: отмечаем границы: закрашенная точка — знак ≤, пустая точка — знак <.

а) x < −3 — открытый луч из точки −3 влево (точка −3 выколота): б) −3 ≤ x < 6 — полуинтервал: точка −3 закрашена, точка 6 пуста: в) −3 ≤ x ≤ 2 — отрезок: обе точки закрашены: г) −4 < x < 2 — интервал: обе точки пустые:

🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 2 (№251 а, б из учебника)

Найди расстояние между точками координатной прямой:

а) S(7,45) и D(1,15); б) R(−5,3) и T(−8,93).

Решение: используем формулу AB = |b − a| — из большей координаты вычитаем меньшую.

а) SD = |7,45 − 1,15| = 6,3
б) RT = |−5,3 − (−8,93)| = |−5,3 + 8,93| = 3,63

Ответ: а) 6,3; б) 3,63.

🔵 Уровень 2: Средний

Задание 3 (чтение рисунков — по мотивам №247 из учебника)

Запиши изображённый на рисунке числовой промежуток в виде неравенства и назови его вид (отрезок, интервал, полуинтервал или луч):

а)

б)

в)

Ответ:
а) Левая граница −4 закрашена (входит), правая 2 — пуста (не входит): −4 ≤ x < 2 — полуинтервал [−4; 2)
б) Левая граница 0 — пуста, правая 6 — закрашена: 0 < x ≤ 6 — полуинтервал (0; 6]
в) Закрашенная точка 3 и луч влево: x ≤ 3 — закрытый луч с началом в точке 3

🔵 Уровень 2: Средний

Задание 4 (№251 в, г из учебника)

Найди расстояние между точками координатной прямой:

в) K(9,43) и L(−9,43); г) A(−5 1/3) и B(3 2/3).

Решение:
в) Координаты — противоположные числа, поэтому расстояние равно сумме их модулей:
KL = |9,43 − (−9,43)| = 9,43 + 9,43 = 18,86
г) Работаем с обыкновенными дробями:
AB = |3 2/3 − (−5 1/3)| = 3 2/3 + 5 1/3 = 8 3/3 = 9

Ответ: в) 18,86; г) 9.

🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 5 (№252 из учебника)

На координатной прямой отмечены точки A(−5), B(−3), C(1) и D(6). Найди расстояние между серединами отрезков AD и BC.

Решение:
1) Координата середины отрезка — среднее арифметическое координат его концов.
Середина M₁ отрезка AD: (−5 + 6) : 2 = 1 : 2 = 0,5
2) Середина M₂ отрезка BC: (−3 + 1) : 2 = (−2) : 2 = −1
3) Расстояние между серединами: M₁M₂ = |0,5 − (−1)| = 0,5 + 1 = 1,5

Фиолетовая точка — середина BC (координата −1), оранжевая — середина AD (координата 0,5). Между ними 1,5 единицы.

Ответ: 1,5.

🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 6 (№257 из учебника)

Составь формулу для нахождения площади покраски стен кладового помещения, если длина равна d м, ширина — b м, а высота — h м. Вычисли площадь покраски и заполни таблицу:

Длина, м	Ширина, м	Высота, м	Площадь покраски, м²
6	5	3	?
10	15	5	?

Сколько банок краски понадобится в каждом случае, если одной банки хватает на покраску 12 м²?

Решение:
1) Красят четыре стены: две имеют площадь d · h и две — b · h. Формула:

S = 2dh + 2bh = 2h(d + b)

2) Подставляем значения:
• d = 6, b = 5, h = 3: S = 2 · 3 · (6 + 5) = 6 · 11 = 66 м²
• d = 10, b = 15, h = 5: S = 2 · 5 · (10 + 15) = 10 · 25 = 250 м²

3) Считаем банки (округляем вверх — неполную банку не купишь!):
• 66 : 12 = 5,5 → понадобится 6 банок
• 250 : 12 ≈ 20,83 → понадобится 21 банка

Ответ: для первой кладовой — 6 банок, для второй — 21 банка.

📝 Главное, что нужно запомнить

Числовые промежутки — отрезок, интервал, полуинтервалы и лучи — так описывают множества чисел «от и до»
Отрезок [a; b]: a ≤ x ≤ b — обе границы включены (закрашенные точки)
Интервал (a; b): a < x < b — границы не включены (пустые точки)
Полуинтервалы: [a; b) — это a ≤ x < b; (a; b] — это a < x ≤ b
Правило трёх образов: нестрогий знак ↔ квадратная скобка ↔ закрашенная точка; строгий знак ↔ круглая скобка ↔ пустая точка
Расстояние между точками A(a) и B(b) равно модулю разности координат: AB = |b − a| (из большей вычесть меньшую)
Координата середины отрезка — среднее арифметическое координат его концов: (a + b) : 2
Читают обозначения так: [a; b] — «отрезок от a до b», (a; b) — «интервал от a до b»