Глава 1 • §2, п. 5

Свойства действий над числами

Как считать быстро, красиво и без калькулятора

Привет! 👋 Сегодня ты узнаешь секрет «ленивых гениев»: оказывается, сложные примеры можно считать в уме за пару секунд, если знать три волшебных свойства чисел. Готов(а) почувствовать себя математическим фокусником? 🎩

🧩 Три главных свойства

1. Переместительное
a + b = b + a
ab = ba
«От перестановки слагаемых и множителей сумма и произведение не меняются»
2. Сочетательное
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
«Группируй соседей как удобно»
3. Распределительное
a(b + c) = ab + ac
«Умножь каждое слагаемое в скобках»

💡 Главный вывод

В любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и объединять их в группы.

В любом произведении можно как угодно переставлять множители и объединять их в группы.

🤝 Приём «удобные пары»

Пример 1: группируем слагаемые

Вычислим сумму 1,23 + 13,5 + 4,27:

1,23 + 13,5 + 4,27 = (1,23 + 4,27) + 13,5 = 5,5 + 13,5 = 19

Видишь? Дробные части 0,23 и 0,27 в сумме дают целое число — их выгодно сложить первыми!

Пример 2: группируем множители

Найдём значение произведения 1,8 · 0,25 · 64 · 0,5:

(1,8 · 0,5) · (0,25 · 64) = 0,9 · 16 = 14,4

Пара 0,25 · 64 дала удобное число 16 — и пример решился почти устно!

«Друзья» круглых чисел

25 · 4 = 100 50 · 2 = 100 125 · 8 = 1000 0,5 · 2 = 1 0,25 · 4 = 1

Запомни эти пары — они твои лучшие помощники в быстрых вычислениях!

🔄 Вычитание — это тоже сложение!

Любое вычитание можно заменить сложением, прибавив противоположное число:

a - b = a + (-b)

Поэтому выражение 3,27 - 6,5 - 2,5 + 1,73 — это на самом деле сумма чисел 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. А значит, её тоже можно группировать!

📝 Пример 3

(3,27 + 1,73) + (-6,5 - 2,5) = 5 + (-9) = -4

↔️ Распределительное свойство работает в обе стороны

Оно справедливо и когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых:

a(b + c + d) = ab + ac + ad

Направление 1: раскрыть скобки

36 · (1/4 - 5/18) = 36 · 1/4 - 36 · 5/18 = 9 - 10 = -1

Без свойства пришлось бы приводить дроби к общему знаменателю — а так всё посчиталось устно!

Направление 2: вынести общий множитель

3,5 · 6,8 + 3,5 · 3,2 = 3,5 · (6,8 + 3,2) = 3,5 · 10 = 35

Общий множитель 3,5 «вынесли за скобки» — и снова получилось круглое число!

🛒 Где это встречается в жизни?

Закупка для детского сада (№99)

Купили 5 наборов карандашей по a руб. и 10 альбомов по b руб. Стоимость покупки:

5a + 10b рублей

🚗 Средняя скорость (№100)

Автомобиль ехал t ч со скоростью 60 км/ч и p ч со скоростью 50 км/ч. Средняя скорость:

(60t + 50p) : (t + p) км/ч

Весь путь делим на всё время — и никак иначе!

🎯 Методическая подсказка

🔥 Лайфхак: как заметить «удобную пару» за 3 секунды

Прежде чем считать «в лоб», просканируй пример тремя взглядами:

Взгляд 1 (суммы): ищи дробные части, дополняющие до целого:
0,17 + 0,83, 0,27 + 0,73, 0,21 + 0,79 → в сумме целое!
Взгляд 2 (произведения): ищи «друзей» круглых чисел:
25 · 4, 50 · 2, 125 · 8, 0,5 · 2, 0,25 · 4
Взгляд 3 (общий множитель): если одно и то же число повторяется в нескольких слагаемых — вынеси его за скобки:
15,7 · 3,09 + 15,7 · 2,91 = 15,7 · (3,09 + 2,91) = 15,7 · 6

⚡ Рациональный способ = заметить пару, а не считать столбиком!

✏️ Проверь себя

Задания идут от простого к сложному. Нажми "Проверить", чтобы увидеть ответ!

🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 1 (№89 из учебника)

Какие свойства действий позволяют, не вычисляя, утверждать, что верно равенство:

а) 247 + 35 = 35 + 247;   б) 84 · 19 = 19 · 84;

в) 14 + (16 + 97) = (14 + 16) + 97;   г) 25 · (4 + 7) = 25 · 4 + 25 · 7?

Ответ:
а) переместительное свойство сложения
б) переместительное свойство умножения
в) сочетательное свойство сложения
г) распределительное свойство умножения
🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 2 (№90 а, б из учебника)

Вычисли наиболее рациональным способом:

а) 3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8

б) 4,11 + 15,5 + 0,89 + 4,4

Решение:
а) (3,17 + 0,83) + (10,2 + 9,8) = 4 + 20 = 24
б) (4,11 + 0,89) + (15,5 + 4,4) = 5 + 19,9 = 24,9
Пары сложились в круглые числа!
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 3 (№94 а, в из учебника)

Вычисли наиболее рациональным способом:

а) 50 · 1,34 · 0,2

в) -75,7 · 0,5 · 20

Решение:
а) (50 · 0,2) · 1,34 = 10 · 1,34 = 13,4
в) -75,7 · (0,5 · 20) = -75,7 · 10 = -757
Сначала «друзья» 50·0,2 и 0,5·20 — потом всё остальное!
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 4 (№96 из учебника)

Найди значение выражения, вынеся общий множитель за скобки:

а) 3,5 · 6,8 + 3,5 · 3,2

б) 12,4 · 14,3 - 12,4 · 4,3

Решение:
а) 3,5 · (6,8 + 3,2) = 3,5 · 10 = 35
б) 12,4 · (14,3 - 4,3) = 12,4 · 10 = 124
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 5 (№93а из учебника)

Найди значение выражения, сгруппировав удобные слагаемые:

5 3/4 - 2 1/7 + 1 1/4 - 4 6/7

Решение:
Группируем: (5 3/4 + 1 1/4) - (2 1/7 + 4 6/7)
5 3/4 + 1 1/4 = 7;   2 1/7 + 4 6/7 = 7
7 - 7 = 0
Ответ: 0 — пример решился без приведения к общему знаменателю! ✨
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 6 (№98а из учебника)

Докажи, что сумма 24 · 17 + 17 · 6 делится на 5.

Доказательство:
Вынесем общий множитель 17: 24 · 17 + 17 · 6 = 17 · (24 + 6) = 17 · 30
Число 30 делится на 5, значит, и всё произведение 17 · 30 делится на 5. ∎
Вычислять ничего не пришлось — свойство сделало всё за нас!

📝 Главное, что нужно запомнить