Глава 2 • §5, п. 15

Прямая пропорциональность и её график

Функция y = kx — прямая, проходящая через начало координат

Привет! 👋 Сегодня ты познакомишься с прямой пропорциональностью — самой простой и красивой функцией. Вспомни: если автомобиль едет со скоростью 60 км/ч, то путь s зависит от времени t по формуле s = 60t. Это и есть прямая пропорциональность! А её график — всегда прямая линия, проходящая через начало координат. Удивительно просто! 🚀

📐 Что такое прямая пропорциональность?

📌 Определение

Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой y = kx, где x — независимая переменная, а k — некоторое ненулевое число.

Число k называют коэффициентом пропорциональности.

Примеры из жизни

💡 Главное свойство

Если x увеличить в несколько раз, то и y увеличится во столько же раз! Именно поэтому зависимость называется «пропорциональной».

📈 График прямой пропорциональности

Построим график функции y = 2x. Составим таблицу значений:

x-2-1012
y-4-2024

Отметим точки на координатной плоскости и соединим их прямой:

x y y = 2x

График функции y = 2x — прямая, проходящая через начало координат

📌 Запомни!

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат (через точку (0; 0)).

🔀 Как коэффициент k влияет на график?

Посмотри, как ведут себя прямые при разных знаках k:

y = 2x (k = 2 > 0)
k > 0

I и III четверти — прямая «идёт вверх»

Схема: масштаб по осям не соблюдён

y = -2x (k = -2 < 0)
k < 0

II и IV четверти — прямая «идёт вниз»

Схема: масштаб по осям не соблюдён

Четверти координатной плоскости

II: x < 0, y > 0
I: x > 0, y > 0
III: x < 0, y < 0
IV: x > 0, y < 0

k > 0 → I и III четверти    k < 0 → II и IV четверти

💡 Правило для запоминания

• Если k > 0 → прямая проходит через I и III четверти (функция возрастает).

• Если k < 0 → прямая проходит через II и IV четверти (функция убывает).

🎯 Методическая подсказка

🔥 Лайфхак: для построения графика y = kx достаточно ДВУХ точек

График прямой пропорциональности — это прямая. А прямая однозначно определяется двумя точками. Значит, для построения достаточно найти всего две точки!

Шаг 1. Первая точка — всегда начало координат: (0; 0).
Проверим: y = k · 0 = 0 ✅ — всегда верно.
Шаг 2. Вторая точка — самая удобная: возьми x = 1.
Тогда y = k · 1 = k. Получили точку (1; k).
Шаг 3. Отметь обе точки на координатной плоскости и проведи через них прямую с помощью линейки. Готово!

Пример (не из заданий): построим y = 6x.

Точка 1: (0; 0). Точка 2: при x = 1 получаем y = 6 → (1; 6).
Проводим прямую через (0; 0) и (1; 6) ✅
А как по готовому графику найти k?
Возьми любую точку графика, кроме (0; 0), и подставь её координаты в формулу y = kx. Вырази k = y / x.
Например, на графике есть точка (2; 12): k = 12 / 2 = 6 → формула y = 6x ✅

📏 Две точки — и весь график готов!

🧩 В задании 1 построишь прямые y = 3x и y = -2x — как раз по этому алгоритму!

✏️ Проверь себя

Задания идут от простого к сложному. Нажми «Проверить», чтобы увидеть ответ!

🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 1 (№297 из учебника)

Построй график функции:

а) y = 3x;   б) y = -2x.

Решение (используем две точки):
а) y = 3x (k = 3 > 0):
• Точка 1: (0; 0)
• Точка 2: при x = 1 → y = 3 → (1; 3)
Проводим прямую через эти точки — она идёт через I и III четверти.

б) y = -2x (k = -2 < 0):
• Точка 1: (0; 0)
• Точка 2: при x = 1 → y = -2 → (1; -2)
Проводим прямую — она идёт через II и IV четверти.
🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 2 (№300 из учебника)

Прямая пропорциональность задана формулой y = kx. Известно, что при x = 4 значение y равно 8. Найди коэффициент k и запиши формулу.

Решение:
Подставим x = 4, y = 8 в формулу y = kx:
8 = k · 4
k = 8 : 4 = 2
Формула: y = 2x

Проверка: при x = 4 → y = 2 · 4 = 8 ✅
Ответ: k = 2, формула y = 2x
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 3 (№301 из учебника)

Принадлежат ли графику функции y = 2x точки:

A(1; 2), B(-1; -2), C(0,5; 1), D(3; 5)?

Решение (подставляем координаты в формулу):
A(1; 2): 2 = 2 · 1 → 2 = 2 ✅ принадлежит
B(-1; -2): -2 = 2 · (-1) → -2 = -2 ✅ принадлежит
C(0,5; 1): 1 = 2 · 0,5 → 1 = 1 ✅ принадлежит
D(3; 5): 5 = 2 · 3 → 5 = 6 ❌ не принадлежит

Ответ: A, B, C принадлежат графику; D — не принадлежит
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 4 (№303 из учебника)

Не выполняя построения, определи, через какие четверти координатной плоскости проходит график функции:

а) y = 5x;   б) y = -3x;   в) y = 0,5x;   г) y = -x.

Решение (смотрим на знак k):
а) y = 5x, k = 5 > 0 → I и III четверти
б) y = -3x, k = -3 < 0 → II и IV четверти
в) y = 0,5x, k = 0,5 > 0 → I и III четверти
г) y = -x, k = -1 < 0 → II и IV четверти

Заметь: знак коэффициента k определяет четверти, а его модуль — наклон прямой!
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 5 (авторская задача по мотивам №299)

На рисунке изображён график функции y = kx. Найди коэффициент k и запиши формулу функции.

x y 2 3 (2; 3)
Решение:
На графике видим точку (2; 3), которая принадлежит прямой.
Подставим в формулу y = kx:
3 = k · 2
k = 3 : 2 = 1,5
Формула функции: y = 1,5x

Проверка: при x = 2 → y = 1,5 · 2 = 3 ✅
Ответ: k = 1,5, формула y = 1,5x
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 6 (авторская задача на сравнение)

На одном рисунке изображены графики двух прямых пропорциональностей y = k₁x и y = k₂x. Первая прямая проходит через точку (2; 8), а вторая — через точку (3; -6).

а) Найди k₁ и k₂ и запиши формулы функций.

б) Через какие четверти проходит каждая прямая?

в) В какой точке эти прямые пересекаются?

Решение:
а) Для первой прямой: 8 = k₁ · 2 → k₁ = 8 : 2 = 4 → y = 4x
   Для второй прямой: -6 = k₂ · 3 → k₂ = -6 : 3 = -2 → y = -2x

б) y = 4x: k₁ = 4 > 0 → I и III четверти
   y = -2x: k₂ = -2 < 0 → II и IV четверти

в) Любая прямая y = kx проходит через начало координат. Значит, обе прямые пересекаются в точке (0; 0).

Проверка: при x = 0: y = 4 · 0 = 0 и y = -2 · 0 = 0 ✅
Ответ: а) k₁ = 4, y = 4x; k₂ = -2, y = -2x; б) I и III, II и IV; в) (0; 0)

📝 Главное, что нужно запомнить