Зависимость одной величины от другой — язык математики
Привет! 👋 Сегодня ты познакомишься с одним из главных понятий всей математики — функцией. Функции окружают нас везде: площадь комнаты зависит от её размеров, температура воздуха — от времени суток, стоимость проезда — от числа зон. Научимся записывать эти зависимости коротко и красиво!
Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Если сторона равна a см, то площадь S = a² см².
При a = 3 → S = 9; при a = 15 → S = 225; при a = 0,08 → S = 0,0064.
Каждому значению a соответствует ровно одно значение S.
Автомобиль едет со скоростью 50 км/ч. Путь s зависит от времени t:
При t = 2 ч → s = 100 км; при t = 3,5 ч → s = 175 км.
На графике показана температура в течение суток. Каждому моменту времени t (от 0 до 24 ч) соответствует одно значение температуры p.
Стоимость проезда m зависит от номера зоны n:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| m (руб.) | 26 | 52 | 78 | 104 | 130 |
Такая зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функциональной зависимостью или функцией.
Вместо длинных слов пишут коротко: y = f(x) (читается: «эф от икс»). Это значит: «y — функция от x».
Например: S(a) = a², s(t) = 50t, m(n) = 26n.
Не всякое число можно подставить в функцию! Все значения, которые может принимать аргумент, образуют область определения функции.
• В примере с площадью квадрата: a > 0 (сторона не может быть отрицательной или нулём).
• В примере с температурой: 0 ≤ t ≤ 24 (в сутках 24 часа).
• В примере с зонами: n = 1, 2, 3, …, 9 (зон всего 9).
Область определения — это все допустимые значения аргумента. Без неё функция «неполная».
Функцию можно описать по-разному. Вот три главных способа:
Пусть y(x) = (3x - 1) / 2, где -3 ≤ x ≤ 3. Найдём значения при целых x:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | -5 | -3,5 | -2 | -0,5 | 1 | 2,5 | 4 |
Таблица — удобный способ увидеть, как функция «работает».
Не всякая зависимость — функция! Чтобы проверить, является ли зависимость функцией, задай себе один вопрос: «Каждому ли значению x соответствует ровно одно значение y?»
А теперь проверим функцию: y = x².
🔍 Функция = «одному входу — один выход». Если выходов больше — это не функция!
📖 В задании 1 проверь по этому тесту, является ли зависимостью функция площадь прямоугольника!
Задания идут от простого к сложному. Нажми «Проверить», чтобы увидеть ответ!
Площадь прямоугольника S со сторонами 9 см и x см равна S см². Вырази формулой зависимость S от x. Найди значение функции при x = 4; 6; 15.
Поезд, двигаясь со скоростью 70 км/ч, проходит за t ч расстояние s км. Задай формулой зависимость s от t. Найди значение функции при t = 2; 4.
Объём куба зависит от длины его ребра. Пусть a см — длина ребра куба, а V см³ — его объём. Задай формулой зависимость V от a. Возьми два каких-нибудь значения аргумента и вычисли соответствующие им значения функции.
По озеру плыла яхта. Расстояние S (в км), на которое удалялась яхта от базы, менялось с течением времени t (в мин). По графику найди:
• На каком расстоянии от базы находилась яхта через 20 мин; 40 мин; 60 мин?
• Какова область определения рассматриваемой функции?
Каждому натуральному числу n ставится в соответствие остаток r от деления этого числа на 4.
а) Найди r, если n равно 13, 34, 43, 100.
б) В рассматриваемой функциональной зависимости укажи аргумент.
в) Какова область определения этой функции?
г) Какие числа служат значениями функции?
В таблице, составленной в результате измерений, показана зависимость атмосферного давления p от высоты h:
| h, км | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p, мм рт. ст. | 760,0 | 716,0 | 614,0 | 596,7 | 525,7 | 462,2 | 404,8 |
а) Каково атмосферное давление на высоте 1 км; 4 км?
б) На какой высоте атмосферное давление равно 596,7 мм рт. ст.; 404,8 мм рт. ст.?
в) Как изменяется давление в зависимости от высоты?