Числа и выражения
Привет! 👋 Давай разберёмся с рациональными числами. Это важная тема, с которой ты будешь работать весь год. Представь, что все числа — это как матрёшка: каждое следующее множество включает в себя предыдущее!
В математике множество — это любая совокупность объектов, объединённых общим признаком. Например:
Мы сейчас будем рассматривать числовые множества.
Чтобы записать, что число принадлежит множеству, используют знак ∈:
2 ∈ N — число 2 является натуральным
-2 ∉ N — число -2 не является натуральным
1, 2, 3, 4, 5, ...
Те, что используем при счёте
от лат. naturalis — естественный
..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Натуральные + противоположные + 0
от нем. Zahl — число
Целые и дробные
Все целые + все дроби
от фр. quotient — отношение
Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. А целые числа — подмножество рациональных.
Это значит: любое натуральное число — целое, а любое целое число — рациональное.
N — натуральные (самое маленькое множество)
Z — целые (среднее)
Q — рациональные (самое большое)
Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби m/n, где:
Среди всех дробей, которыми можно записать данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Она называется несократимой.
Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1.
Термин произошёл от латинского слова ratio, что в переводе означает «отношение» или «частное». То есть рациональное число — это отношение двух чисел!
Если ты затрудняешься, используй этот волшебный метод!
✨ Вау-эффект гарантирован! ✨
Любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель.
Представим 1/8 в виде десятичной дроби:
Деление закончилось — получилась конечная десятичная дробь.
Представим 8/37 в виде десятичной дроби. Делим 8 на 37:
Остатки начинают повторяться: 8, 6, 23, 8, 6, 23... Значит, цифры в частном тоже будут повторяться: 2, 1, 6.
Период — это повторяющаяся группа цифр в бесконечной десятичной дроби.
Читается: «ноль целых, двести шестнадцать в периоде».
Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Даже конечную десятичную дробь можно записать как бесконечную, приписав справа бесконечную последовательность нулей:
Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.
Например:
Дроби с периодом 9 считают другой записью дробей с периодом 0:
Поэтому дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0.
Бесконечные десятичные дроби, у которых нет периода, представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами.
Приставка «ир» означает «отрицание». Иррациональные = не рациональные.
Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения m/n, где m — целое, а n — натуральное.
Множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел составляют множество действительных чисел.
В курсе алгебры 7 класса все действия мы будем выполнять только с рациональными числами. Об иррациональных числах ты узнаешь подробнее в 8 классе.
Задания идут от простого к сложному. Нажми "Проверить", чтобы увидеть ответ!
Верно ли, что:
а) -4 ∈ N; -4 ∈ Z; -4 ∈ Q?
б) 5,6 ∈ N; 5,6 ∈ Z; 5,6 ∈ Q?
в) 28 ∈ N; 28 ∈ Z; 28 ∈ Q?
Представь в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем:
36; -45; 4,2; -0,8
Представь в виде бесконечной десятичной дроби:
1/3; 5/6; -1/8; 10,28
Сравни рациональные числа:
а) 0,013 и 0,1004
б) -2,005 и -2,04
в) 1,37 и 1,(37)
Переведи периодическую дробь в обыкновенную (используй лайфхак!):
0,(5) = ? 0,(12) = ?
Запиши пять чисел, заключённых между:
1,3 и 1,4