Математические близнецы и искусство упрощать
Привет! 👋 Сегодня знакомимся с тождествами — равенствами, которые верны ВСЕГДА, при любых значениях букв. Это как математические близнецы: два разных на вид выражения дают один и тот же результат. А ещё ты освоишь главный инструмент алгебры — упрощение выражений!
Найдём значения выражений 3(x + y) и 3x + 3y при разных значениях:
| x | 5 | 0 | -2 |
|---|---|---|---|
| y | 4 | 1 | 7 |
| 3(x + y) | 27 | 3 | 15 |
| 3x + 3y | 27 | 3 | 15 |
Результаты совпали при любых значениях! Такие выражения называют тождественно равными.
Теперь сравним 2x + y и 2xy:
| x | 1 | 3 |
|---|---|---|
| y | 2 | 4 |
| 2x + y | 4 | 10 |
| 2xy | 4 | 24 |
При x = 1, y = 2 значения совпали (оба равны 4) — но это случайность! При x = 3, y = 4 они уже разные. Значит, эти выражения НЕ являются тождественно равными.
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Тождество — это равенство, верное при любых значениях переменных.
Верные числовые равенства (например, 2 + 2 = 4) тоже считаются тождествами.
Мухаммед бен Муса аль-Хорезми (787 — ок. 850) — среднеазиатский математик и астроном. Он впервые отделил алгебру от арифметики и стал рассматривать её как самостоятельный предмет. От его имени произошло слово «алгоритм», а от названия его трактата «аль-джебр» — слово «алгебра»!
Заменив выражение тождественно равным ему, мы выполняем тождественное преобразование — и часто сильно упрощаем себе жизнь.
Найдём значение xy - xz при x = 2,3, y = 0,8, z = 0,2.
Вынесли общий множитель — и вычислений стало меньше! ✨
Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Посмотри на сумму:
Здесь 3a, -2a, 4a — подобные (буквенная часть «a»), а b и -2c — сами по себе.
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Скобки опускаем,
знаки сохраняем
2a + (b - 3c) = 2a + b - 3c
Скобки опускаем,
знаки меняем на противоположные
a - (4b - c) = a - 4b + c
Выражение -(4b - c) — это то же самое, что (-1) · (4b - c). Раскрываем скобки через распределительное свойство:
Вот и причина «переворота» знаков! Минус перед скобкой — это умножение на -1.
У Игоря три альбома. В первом — a марок, во втором — на 15 больше, чем в первом, а в третьем — втрое больше, чем во втором. Сколько марок в трёх альбомах?
Раскрыли скобки, привели подобные — и получили короткую формулу! Если a = 20, то марок 5 · 20 + 60 = 160.
Самая частая ошибка при приведении подобных — потерять коэффициент 1. Запомни:
👻 Невидимая единица — тоже число!
Задания идут от простого к сложному. Нажми "Проверить", чтобы увидеть ответ!
Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения:
а) ab + 16c и 16c + ab; б) (a + 2) + x и a + (2 + x);
в) xy + 3 и 3 + xy; г) 5(b + c) и 5b + 5c?
Верно ли утверждение:
а) равенство 6(x - y) = 6x - 6y является тождеством;
б) равенство 3a - 4 = a + (2a - 4) является тождеством;
в) равенство 25(a - a) = 25 является тождеством?
Упрости выражение (раскрой скобки):
а) 5 - (a - 3); в) 64 - (14 + 7x)
Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:
б) 3x - (x - 2); в) 4a - (a + 6)
Упрости выражение и найди его значение:
а) (5x - 1) - (2 - 8x) при x = 0,75;
в) 12 + 7x - (1 - 3x) при x = -1,7.
Докажи, что при любом a значение выражения 3(a + 2) - 3a равно 6.