Глава 2 • §4, п. 13

Вычисление значений функции по формуле

Таблицы, области определения и «обратные» задачи

Привет! 👋 В прошлом уроке ты узнала, что такое функция и как её можно задать формулой, графиком или таблицей. Сегодня фокусируемся именно на формуле — самом популярном способе. Научимся составлять таблицы значений, находить область определения и решать «обратные» задачи — когда по значению функции нужно найти аргумент. Поехали! 🚀

📊 Таблица значений функции

Формула — это аналитический способ задания функции. Она позволяет для любого значения аргумента вычислить значение функции. Результаты удобно записывать в виде таблицы.

Пример из учебника

Пусть функция задана формулой y(x) = (3x - 1) / 2, где -3 ≤ x ≤ 3. Найдём значения y при целых x:

Если x = -3, то y = (3 · (-3) - 1) / 2 = (-9 - 1) / 2 = -10 / 2 = -5

Если x = -2, то y = (3 · (-2) - 1) / 2 = (-6 - 1) / 2 = -7 / 2 = -3,5

Если x = 0, то y = (3 · 0 - 1) / 2 = -1 / 2 = -0,5

Записываем результаты в таблицу (шаг изменения x равен 1):

x-3-2-10123
y-5-3,5-2-0,512,54

💡 Как читать таблицу

В верхней строке — значения аргумента x, в нижней — соответствующие значения функции y. Каждая пара (x; y) — это «вход → выход» нашей машины-функции.

🎯 Область определения: где формула «работает»?

Если функция задана формулой и область определения не указана явно, то считается, что она состоит из всех значений x, при которых формула имеет смысл.

📝 Пример 1

y = x(x + 5) — можно подставить любое число: умножение и сложение определены всегда. Область определения — все числа.

📝 Пример 2

y = 1 / (x - 2) — делить на ноль нельзя! Значит, x - 2 ≠ 0, то есть x ≠ 2. Область определения — все числа, кроме 2.

⚠️ Запомни «запрещённые» операции

  • Деление на ноль → знаменатель ≠ 0
  • Корень чётной степени из отрицательного числа (изучим позже)

В 7 классе главная ловушка — деление на ноль. Всегда проверяй знаменатель!

🔄 Обратная задача: по значению функции — найти аргумент

Иногда нам нужно решить задачу «наоборот»: известно значение функции, а нужно найти, при каком x оно получилось. Тогда мы подставляем известное значение в формулу и решаем уравнение.

Пример из учебника

Функция задана формулой y = 12x - 3,6. При каком x значение функции равно 2,4?

📝 Решение

Подставляем y = 2,4 в формулу:

2,4 = 12x - 3,6

Решаем уравнение:

  1. 12x = 2,4 + 3,6
  2. 12x = 6
  3. x = 6 : 12 = 0,5

Ответ: y = 2,4 при x = 0,5. Проверка: 12 · 0,5 - 3,6 = 6 - 3,6 = 2,4 ✅

Два направления работы с формулой

🟢 Прямая задача
⬇️
Знаем x
⬇️
Подставляем в формулу
⬇️
Вычисляем y
🟣 Обратная задача
⬇️
Знаем y
⬇️
Подставляем в формулу
⬇️
Решаем уравнение → x

🎯 Методическая подсказка

🔥 Лайфхак: прямая и обратная задача — два лица одной формулы

Главное — понять, ЧТО тебе известно, а ЧТО нужно найти. От этого зависит направление действий:

Шаг 1. Определи тип задачи.
• Дали x, спрашивают y → прямая (подставь и вычисли)
• Дали y, спрашивают x → обратная (подставь и реши уравнение)
Шаг 2. Прямая задача — пример, которого нет в заданиях.
Формула: y = 4x + 1. Найти y при x = 3.
Подставляем: y = 4 · 3 + 1 = 12 + 1 = 13 ✅
Шаг 3. Обратная задача — тот же пример «наоборот».
Формула: y = 4x + 1. Найти x, при котором y = 13.
Подставляем y: 13 = 4x + 1
Решаем: 4x = 13 - 1 = 12 → x = 3 ✅
Видишь? Получили тот же ответ — это и есть проверка!
Шаг 4. Проверка — подставь найденное значение в исходную формулу.
Если при x = 3 получилось y = 13 — всё верно ✅

🔄 В задании 4 сделаешь то же самое: подставишь значение y в формулу y = -5x + 6 и решишь уравнение!

✏️ Проверь себя

Задания идут от простого к сложному. Нажми «Проверить», чтобы увидеть ответ!

🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 1 (№267 из учебника)

Функция задана формулой y = 2x + 7. Найди значение функции, соответствующее значению аргумента:

а) x = 1;   б) x = -20;   в) x = 43.

Решение (прямая задача — подставляем x):
а) y = 2 · 1 + 7 = 2 + 7 = 9
б) y = 2 · (-20) + 7 = -40 + 7 = -33 (отрицательное — в скобках!)
в) y = 2 · 43 + 7 = 86 + 7 = 93
Ответ: а) 9; б) -33; в) 93
🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 2 (№268 из учебника)

Функция задана формулой y = 0,1x + 5. Найди значение функции при значении аргумента:

а) x = 10;   б) x = 50;   в) x = 120.

Решение:
а) y = 0,1 · 10 + 5 = 1 + 5 = 6
б) y = 0,1 · 50 + 5 = 5 + 5 = 10
в) y = 0,1 · 120 + 5 = 12 + 5 = 17
Ответ: а) 6; б) 10; в) 17
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 3 (№272 из учебника)

Найди область определения функции, заданной формулой:

а) y = x + 8;   б) y = 1/x;   в) y = 1/(x - 4);   г) y = 1/(x + 6).

Решение:
а) y = x + 8 — нет деления, подставлять можно любое число → все числа
б) y = 1/x — знаменатель x ≠ 0 → все числа, кроме 0
в) y = 1/(x - 4) — знаменатель x - 4 ≠ 0, значит x ≠ 4 → все числа, кроме 4
г) y = 1/(x + 6) — знаменатель x + 6 ≠ 0, значит x ≠ -6 → все числа, кроме -6
Ответ: а) все числа; б) x ≠ 0; в) x ≠ 4; г) x ≠ -6
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 4 (№273 из учебника)

Формула y = -5x + 6 задаёт функцию. При каком значении аргумента значение функции равно:

а) 6;   б) 8;   в) 100?

Решение (обратная задача — подставляем y и решаем уравнение):
а) 6 = -5x + 6 → -5x = 6 - 6 = 0 → x = 0
   Проверка: -5 · 0 + 6 = 6 ✅
б) 8 = -5x + 6 → -5x = 8 - 6 = 2 → x = 2 : (-5) = -0,4
   Проверка: -5 · (-0,4) + 6 = 2 + 6 = 8 ✅
в) 100 = -5x + 6 → -5x = 100 - 6 = 94 → x = 94 : (-5) = -18,8
   Проверка: -5 · (-18,8) + 6 = 94 + 6 = 100 ✅
Ответ: а) 0; б) -0,4; в) -18,8
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 5 (№276 из учебника — задача с физическим смыслом)

Задай формулой зависимость массы куска пробки от его объёма, если известно, что плотность пробки равна 0,18 г/см³. Найди по формуле:

а) массу куска пробки, объём которого равен 240 см³;

б) объём куска пробки, масса которого равна 64,8 г.

Решение:
Плотность = масса ÷ объём, значит масса = плотность · объём:
m = 0,18 · V (где m — масса в г, V — объём в см³)
а) V = 240: m = 0,18 · 240 = 43,2 г
   Проверка: 43,2 : 240 = 0,18 ✅
б) m = 64,8: 64,8 = 0,18 · V → V = 64,8 : 0,18 = 6480 : 18 = 360 см³
   Проверка: 0,18 · 360 = 64,8 ✅
Ответ: формула m = 0,18V; а) 43,2 г; б) 360 см³
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 6 (№277 из учебника — задача на движение)

Велосипедист ехал со скоростью v км/ч в течение 6 ч и проехал путь S км. Задай формулой зависимость S(v). Пользуясь этой формулой:

а) найди S, если v = 65;

б) найди v, если S = 363.

Решение:
Путь = скорость · время, значит:
S = 6v (где S — путь в км, v — скорость в км/ч)
а) v = 65: S = 6 · 65 = 390 км
   Проверка: 390 : 6 = 65 ✅
б) S = 363: 363 = 6v → v = 363 : 6 = 60,5 км/ч
   Проверка: 6 · 60,5 = 363 ✅
Ответ: формула S = 6v; а) 390 км; б) 60,5 км/ч

📝 Главное, что нужно запомнить