Глава 1 • §1, п. 4

Сравнение значений выражений

Равенства, неравенства и двойные неравенства

Привет! 👋 Сегодня учимся сравнивать значения выражений. Это как спорить с друзьями, у кого результат лучше — только в математике всё решают точные знаки: =, >, <, ≥, ≤. И самое интересное: если в выражении есть переменная, результат сравнения может меняться!

🌾 Зачем сравнивать выражения?

Задача из учебника: где урожай выше?

Два опытных участка: 48 га и 60 га. С первого собрали 1800 ц пшеницы, со второго — 2100 ц. На каком участке урожайность выше?

📝 Решаем

Урожайность = масса пшеницы ÷ площадь участка. Сравниваем:

Участок 1: 1800 : 48 = 37,5 ц/га

Участок 2: 2100 : 60 = 35 ц/га

1800 : 48 > 2100 : 60

Значит, урожайность выше на первом участке. Видишь? Результат сравнения выражений записали в виде неравенства. Если значения равны — записали бы равенство.

🎭 Осторожно: переменные меняют результат!

Сравним выражения 2a и a + 4 при разных значениях a:

a0410
2a0820
a + 44814
Результат2a < a+42a = a+42a > a+4

💡 Вывод

Для разных значений переменной результат сравнения может быть разным: сегодня «меньше», завтра «равно», послезавтра «больше»!

⚖️ Двойные неравенства

Пример: шарик на весах

Масса шарика m больше 86 г, но меньше 87 г. Два неравенства 86 < m и m < 87 можно записать одним — двойным неравенством:

86 < m < 87

Читается: «m больше 86 и меньше 87».

Числовая прямая: m прячется между 86 и 87

86 m 87

Жёлтая зона — все возможные значения m

Ещё пример: дни в месяце

Число дней n не меньше 28 и не больше 31:

28 ≤ n ≤ 31

🚦 Строгие и нестрогие неравенства

>   <

Строгие

«больше», «меньше»
без равенства!

≥   ≤

Нестрогие

«больше или равно»,
«меньше или равно»

📖 Учимся читать

n ≤ 31 — «n меньше или равно 31»

n ≥ 28 — «n больше или равно 28»

-5 ≤ a < -2 — «a больше или равно -5, но меньше -2»

🎯 Методическая подсказка

🔥 Лайфхак: сравнивай, НЕ вычисляя!

Часто можно сравнить выражения за 5 секунд, если знать три правила:

Правило 1: Положительное число ВСЕГДА больше отрицательного.
6,13 - 7,57 < -6,13 + 7,57 (слева отрицательное, справа положительное)
Правило 2: Умножение: на число > 1 — число «растёт», на число < 1 — «уменьшается».
9 · 0,6 < 9
Правило 3: Деление: на число > 1 — «уменьшается», на число < 1 — «растёт».
9 : 0,6 > 9
Пример: Сравним 9 : 0,6 и 9 · 0,6:
первое больше 9, второе меньше 9 → 9 : 0,6 > 9 · 0,6. Счёт не нужен! ⚡

✏️ Проверь себя

Задания идут от простого к сложному. Нажми "Проверить", чтобы увидеть ответ!

🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 1 (№66 из учебника)

Сравни значения выражений (вычисли и сравни):

а) 2,06 · 3,05 и 21,28 : 3,5

б) 97,2 : 2,4 и 62 - 21,6

Решение:
а) 2,06 · 3,05 = 6,283; 21,28 : 3,5 = 6,08 → 2,06 · 3,05 > 21,28 : 3,5
б) 97,2 : 2,4 = 40,5; 62 - 21,6 = 40,4 → 97,2 : 2,4 > 62 - 21,6
🟢 Уровень 1: Лёгкий

Задание 2 (№75 из учебника)

Запиши в виде двойного неравенства:

а) 8 меньше 13 и 13 меньше 15;

б) 63,5 больше 63 и меньше 64;

в) -8,1 больше -11 и меньше -7.

Ответ:
а) 8 < 13 < 15
б) 63 < 63,5 < 64
в) -11 < -8,1 < -7 (среднее число стоит между крайними!)
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 3 (№67 из учебника)

Сравни значения выражений, НЕ вычисляя их (используй лайфхак!):

а) 56 · 7 и 56 : 7

б) 9 : 0,6 и 9 · 0,6

в) 2,1 - 5,8 и 2,1 - 1,7

Ответ:
а) 56 · 7 > 56 : 7 (умножение на 7 растит, деление уменьшает)
б) 9 : 0,6 > 9 · 0,6 (деление на число < 1 растит!)
в) 2,1 - 5,8 < 2,1 - 1,7 (вычитаем больше — результат меньше)
🔵 Уровень 2: Средний

Задание 4 (№71а из учебника)

Сравни значения выражений x и -x при x = 8; 0; -3.

Решение:
При x = 8: 8 > -8
При x = 0: 0 = 0
При x = -3: -3 < 3
Вывод: результат зависит от значения переменной! 🎭
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 5 (№73 из учебника)

Верно ли неравенство 2x + 5 < 3x при x = 4,2; 5; 6,5?

Решение:
x = 4,2: 2·4,2 + 5 = 13,4; 3·4,2 = 12,6 → 13,4 < 12,6? НЕВЕРНО ❌
x = 5: 15 < 15? НЕВЕРНО (равны) ❌
x = 6,5: 18 < 19,5? ВЕРНО ✅
🟣 Уровень 3: Сложный

Задание 6 (№84 из учебника)

Один автомобиль проехал 700 км за x ч, а другой — 630 км за y ч. Сравни средние скорости, если:

а) x = 12,5, y = 10,5;   б) x = y = 14.

Решение: скорость = путь ÷ время
а) 700 : 12,5 = 56 км/ч; 630 : 10,5 = 60 км/ч → 56 < 60 (второй быстрее)
б) 700 : 14 = 50 км/ч; 630 : 14 = 45 км/ч → 50 > 45 (первый быстрее)
При одинаковом времени быстрее тот, кто проехал больше!

📝 Главное, что нужно запомнить