⭕ Центральные и вписанные углы

Геометрия 8 класс • Глава IX, §2, пункты 79–81 • Градусная мера дуги, теорема о вписанном угле, углы при хордах и касательных

🧠 Блок 1. Изучение нового материала

🌍 Разминка: углы в круге

Представь циферблат часов. Угол между стрелками — это центральный угол. А если ты стоишь на краю циферблата и смотришь на две точки — это вписанный угол. Сегодня докажем, что вписанный угол всегда в два раза меньше центрального! ⭕📐

📖 Ключевые термины

Термин	Определение
Центральный угол	Угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол	Угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность.
Дуга окружности	Часть окружности между двумя точками.
Градусная мера дуги	Число градусов, которые составляют дуга. Равна центральному углу, опирающемуся на эту дугу.

📐 Часть 1. Градусная мера дуги окружности (пункт 79)

🌟 Основные факты

1. Полная окружность содержит 360°.

2. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу.

3. Если дуга составляет половину окружности (полуокружность), её мера равна 180°.

📐 Часть 2. Теорема о вписанном угле (пункт 80)

🌟 Теорема о вписанном угле

Вписанный угол = ½ × центрального угла

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный и центральный углы на одной дуге

💡 Следствия из теоремы о вписанном угле

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен 90° (прямой угол).

3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключённой в этом угле.

📐 Часть 3. Углы, образованные хордами, касательными и секущими (пункт 81)

🌟 Углы при хордах и касательных

1. Угол между хордой и касательной = ½ дуги, заключённой в этом угле.

2. Угол между двумя пересекающимися хордами = ½ суммы дуг, заключённых между сторонами угла.

3. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне окружности = ½ разности дуг.

4. Угол между секущей и касательной = ½ разности дуг.

Угол между хордой и касательной

🛠 Блок 2. Закрепление (задачи из учебника)

Сначала реши задачу в тетради, потом открой решение и проверь каждый шаг по чертежу! ✍️

Базовый уровень

Задание 1 (№760)

Центральный угол окружности равен 80°. Чему равен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу?

Показать подробное решение

По теореме о вписанном угле: вписанный угол = ½ центрального угла.

Ответ: 80° : 2 = 40°.

Базовый уровень

Задание 2 (№761)

Вписанный угол равен 35°. Чему равен центральный угол, опирающийся на ту же дугу?

Показать подробное решение

Центральный угол = 2 × вписанный угол = 2 × 35° = 70°.

Средний уровень

Задание 3 (№763)

Вписанный угол опирается на дугу, составляющую ¼ окружности. Найдите вписанный угол.

Показать подробное решение

Дуга = ¼ × 360° = 90°.

Вписанный угол = ½ × 90° = 45°.

Средний уровень

Задание 4 (№764)

Вписанный угол опирается на полуокружность. Чему равен этот угол?

Показать подробное решение

Полуокружность = 180°.

Вписанный угол = ½ × 180° = 90° (прямой угол).

Средний уровень

Задание 5 (№765)

Два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу. Первый угол равен 42°. Найдите второй угол.

Показать подробное решение

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Ответ: 42°.

Продвинутый уровень

Задание 6 (№770)

Хорда стягивает дугу в 100°. Найдите угол между этой хордой и касательной, проведённой через один из концов хорды.

Показать подробное решение

Угол между хордой и касательной = ½ дуги, заключённой в этом угле.

Ответ: 100° : 2 = 50°.

Продвинутый уровень

Задание 7 (№772)

Две хорды пересекаются внутри окружности. Дуги, заключённые между сторонами угла, равны 80° и 120°. Найдите угол между хордами.

Показать подробное решение

Угол между пересекающимися хордами = ½ (сумма дуг) = ½ (80° + 120°) = ½ × 200° = 100°.

🏗 Блок 3. Практическое применение

🎨 Продукт урока: «Архитектор арки»

Ты проектируешь полукруглую арку для входа в здание. Ширина арки (хорда) 6 м. Нужно определить, какова высота арки (расстояние от середины хорды до верхней точки дуги).

Задача: найди высоту полукруглой арки шириной 6 м.

Показать расчёт архитектора

Шаг 1: Полукруглая арка — это полуокружность. Хорда = диаметр = 6 м.

Шаг 2: Радиус R = 6 : 2 = 3 м.

Шаг 3: Высота арки = радиус = 3 м.

Высота полукруглой арки всегда равна её радиусу! 🏛

📝 Главное, что нужно запомнить

Вписанный угол = ½ центрального угла на той же дуге.
Вписанные углы на одной дуге равны — это важнейшее следствие.
Угол на полуокружности = 90° (прямой угол).
Угол между хордой и касательной = ½ дуги, заключённой в этом угле.
Угол между пересекающимися хордами = ½ суммы дуг.

💡 Методическая подсказка (для учителя или родителя)

Доказательство теоремы о вписанном угле: используйте три случая (центр внутри угла, центр на стороне угла, центр вне угла). Случай «центр на стороне» — базовый, остальные сводятся к нему.
Наглядность: используйте циркуль и транспортир. Пусть ученик сам начертит центральный и вписанный углы и убедится в соотношении 1:2.
Задача про арку: покажите, что полукруглая арка — это реальный архитектурный элемент. Можно обсудить, почему именно полукруг так часто используется в архитектуре (равномерное распределение нагрузки).
Следствия теоремы: равенство вписанных углов на одной дуге — ключ к решению многих задач. Уделите этому особое внимание.