⭕ Вписанная и описанная окружности

Геометрия 8 класс • Глава IX, §3, пункты 82–83 • Вписанная окружность треугольника, описанная окружность треугольника

🧠 Блок 1. Изучение нового материала

🌍 Разминка: окружности в треугольнике

Можно ли вписать окружность в любой треугольник так, чтобы она касалась всех трёх сторон? А можно ли описать окружность вокруг любого треугольника так, чтобы она проходила через все три вершины? Сегодня докажем, что ответ на оба вопроса — да! ⭕🔺

📖 Ключевые термины

ТерминОпределение
Вписанная окружностьОкружность, касающаяся всех сторон многоугольника.
Описанная окружностьОкружность, проходящая через все вершины многоугольника.
Центр вписанной окружности (инцентр)Точка пересечения биссектрис углов треугольника.
Центр описанной окружности (центр описанной)Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

📐 Часть 1. Вписанная окружность (пункт 82)

🌟 Теорема о вписанной окружности

В любой треугольник можно вписать окружность, причём только одну.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Радиус вписанной окружности — расстояние от центра до стороны (перпендикуляр).

Вписанная окружность треугольника

I I — инцентр (пересечение биссектрис)

💡 Свойства вписанной окружности

1. Центр равноудалён от всех сторон треугольника.

2. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

3. Площадь треугольника: S = r × p, где r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр.

📐 Часть 2. Описанная окружность (пункт 83)

🌟 Теорема о описанной окружности

Около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну.

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности — расстояние от центра до вершины.

Описанная окружность треугольника

O O — центр описанной окружности

💡 Особые случаи

Прямоугольный треугольник: центр описанной окружности — середина гипотенузы.

Равносторонний треугольник: инцентр и центр описанной окружности совпадают.

Тупоугольный треугольник: центр описанной окружности лежит вне треугольника.

🛠 Блок 2. Закрепление (задачи из учебника)

Сначала реши задачу в тетради, потом открой решение и проверь каждый шаг по чертежу! ✍️

Базовый уровень

Задание 1 (№778)

Докажите, что центр вписанной окружности треугольника равноудалён от его сторон.

Показать подробное решение
Дано: треугольник ABC, I — пересечение биссектрис.
Доказать: I равноудалён от сторон AB, BC, AC.
Доказательство: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон угла. Точка I лежит на биссектрисе ∠A → равноудалена от AB и AC. Аналогично для ∠B и ∠C. Значит, I равноудалена от всех трёх сторон. ✅
Базовый уровень

Задание 2 (№779)

Докажите, что отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

Показать подробное решение
Дано: окружность с центром O, точка P вне окружности, PA и PB — касательные.
Доказать: PA = PB.
Доказательство: OA ⊥ PA, OB ⊥ PB (свойство касательной). OA = OB (радиусы). OP — общая гипотенуза. Треугольники OAP и OBP равны по катету и гипотенузе. Следовательно, PA = PB. ✅
Средний уровень

Задание 3 (№782)

В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Показать подробное решение
Шаг 1: Гипотенуза: c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.
Шаг 2: Полупериметр: p = (6 + 8 + 10) : 2 = 12 см.
Шаг 3: Площадь: S = ½ × 6 × 8 = 24 см².
Шаг 4: Радиус: r = S : p = 24 : 12 = 2 см.
Средний уровень

Задание 4 (№783)

В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 см и 12 см. Найдите радиус описанной окружности.

Показать подробное решение
Шаг 1: Гипотенуза: c = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 см.
Шаг 2: Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Шаг 3: Радиус: R = c : 2 = 13 : 2 = 6,5 см.
Продвинутый уровень

Задание 5 (№785)

В треугольнике стороны равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Показать подробное решение
Шаг 1: Полупериметр: p = (13 + 14 + 15) : 2 = 21 см.
Шаг 2: Площадь по Герону: S = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 см².
Шаг 3: Радиус: r = S : p = 84 : 21 = 4 см.
Продвинутый уровень

Задание 6 (№786)

Докажите, что в равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

Показать подробное решение
Дано: равносторонний треугольник со стороной a.
Описанная окружность: R = (a√3) : 3.
Отношение: R : r = (a√3/3) : (a√3/6) = 2 : 1. ✅

🏗 Блок 3. Практическое применение

🎨 Продукт урока: «Дизайнер медальона»

Ты создаёшь круглый медальон с равносторонним треугольником внутри. Сторона треугольника 6 см. Нужно определить радиус медальона (описанной окружности) и радиус вписанной окружности треугольника.

Задача: найди оба радиуса.

Показать расчёт дизайнера
Шаг 1: Для равностороннего треугольника со стороной a = 6 см:
Шаг 2: Радиус описанной окружности: R = a : √3 = 6 : √3 = 2√3 ≈ 3,46 см.
Шаг 3: Радиус вписанной окружности: r = a : (2√3) = 6 : (2√3) = √3 ≈ 1,73 см.
Медальон должен иметь радиус около 3,46 см, чтобы треугольник поместился внутри! 🏅

📝 Главное, что нужно запомнить

  • Вписанная окружность: центр — пересечение биссектрис, радиус ⊥ стороне.
  • Описанная окружность: центр — пересечение серединных перпендикуляров.
  • Площадь через вписанную: S = r × p (p — полупериметр).
  • Прямоугольный треугольник: центр описанной — середина гипотенузы.
  • Равносторонний треугольник: R = 2r (радиус описанной в два раза больше вписанной).

💡 Методическая подсказка (для учителя или родителя)

  • Вписанная окружность: начните с построения биссектрис. Убедитесь, что ученики понимают: точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла — это ключевое свойство.
  • Описанная окружность: используйте серединные перпендикуляры. Покажите, что центр равноудалён от вершин — это определение описанной окружности.
  • Прямоугольный треугольник: центр описанной окружности — середина гипотенузы. Это частный случай, который стоит запомнить отдельно.
  • Задача про медальон: покажите, что в равностороннем треугольнике инцентр и центр описанной совпадают. Это помогает визуализировать соотношение R = 2r.