⭕ Окружность и прямые

Геометрия 8 класс • Глава IX, §1, пункты 76–78 • Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей, касательные

🧠 Блок 1. Изучение нового материала

🌍 Разминка: окружность вокруг нас

Колесо велосипеда, солнце на небосводе, стакан сверху — всё это окружности. Но что происходит, когда окружность встречается с прямой? Они могут пересекаться, касаться или не встречаться вовсе. Сегодня разберём все три случая и научимся строить касательные. ⭕📏

📖 Ключевые термины

ТерминОпределение
ОкружностьМножество точек плоскости, равноудалённых от данной точки (центра).
Радиус (R)Расстояние от центра окружности до любой её точки.
ХордаОтрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр (d)Хорда, проходящая через центр. d = 2R.
КасательнаяПрямая, имеющую с окружностью ровно одну общую точку.

📐 Часть 1. Взаимное расположение прямой и окружности (пункт 76)

🌟 Три случая

1. Пересекаются (2 общие точки) — расстояние от центра до прямой d < R.

2. Касаются (1 общая точка) — d = R. Прямая называется касательной.

3. Не пересекаются (0 общих точек) — d > R.

Три случая расположения прямой и окружности

d < R 2 точки пересечения d = R 1 точка касания d > R 0 общих точек

🌟 Свойство касательной

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Обратно: если радиус перпендикулярен прямой в точке на окружности, то эта прямая — касательная.

🔵 Часть 2. Взаимное расположение двух окружностей (пункт 77)

🌟 Пять случаев (пусть R ≥ r, d — расстояние между центрами)

1. d > R + r — окружности не пересекаются, одна вне другой.

2. d = R + r — внешнее касание (1 общая точка).

3. |R − r| < d < R + r — пересекаются в двух точках.

4. d = |R − r| — внутреннее касание (1 общая точка).

5. d < |R − r| — одна окружность внутри другой, общих точек нет.

Взаимное расположение двух окружностей

d > R + r d = R + r |R−r| < d < R+r d = R − r d < R − r

✏️ Часть 3. Общая касательная двух окружностей (пункт 78)

🌟 Общие касательные

Общая внешняя касательная — касательная, для которой окружности лежат по одну сторону от неё.

Общая внутренняя касательная — касательная, для которой окружности лежат по разные стороны.

Если окружности пересекаются — у них только 2 общие внешние касательные.

Если окружности касаются внешне — 3 общие касательные (2 внешние + 1 внутренняя).

Если окружности касаются внутренне — 1 общая касательная.

Если одна окружность внутри другой — общих касательных нет.

🛠 Блок 2. Закрепление (задачи из учебника)

Сначала реши задачу в тетради, потом открой решение и проверь каждый шаг по чертежу! ✍️

Базовый уровень

Задание 1 (№745)

Расстояние от центра окружности до прямой равно 6 см, а радиус окружности равен: а) 4 см; б) 6 см; в) 8 см. Определите взаимное расположение прямой и окружности.

Показать подробное решение
а) d = 6 см > R = 4 см → прямая не пересекает окружность (0 общих точек).
б) d = 6 см = R = 6 см → прямая касается окружности (1 общая точка).
в) d = 6 см < R = 8 см → прямая пересекает окружность в двух точках.
Базовый уровень

Задание 2 (№746)

Прямая касается окружности радиусом 7 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой прямой.

Показать подробное решение
По свойству касательной: расстояние от центра до касательной равно радиусу.
Ответ: d = 7 см.
Средний уровень

Задание 3 (№748)

Две окружности с радиусами 5 см и 3 см. Расстояние между их центрами равно: а) 9 см; б) 8 см; в) 6 см; г) 2 см. Определите взаимное расположение окружностей.

Показать подробное решение
а) d = 9 см > R + r = 8 см → окружности не пересекаются, одна вне другой.
б) d = 8 см = R + r = 5 + 3 = 8 см → внешнее касание.
в) |5−3| = 2 < d = 6 < 8 = R + r → окружности пересекаются в двух точках.
г) d = 2 см = |R − r| = |5 − 3| = 2 см → внутреннее касание.
Средний уровень

Задание 4 (№750)

К окружности радиусом 4 см проведена касательная. На каком расстоянии от центра окружности находится точка касания? На каком расстоянии от центра находится точка на касательной, удалённая от точки касания на 3 см?

Показать подробное решение
Точка касания на окружности → расстояние от центра = R = 4 см.
Точка на касательной на расстоянии 3 см от точки касания:
d² = R² + 3² = 16 + 9 = 25 → d = 5 см (по теореме Пифагора).
Продвинутый уровень

Задание 5 (№755)

Две окружности радиусами 6 см и 2 см касаются внешним образом. Найдите расстояние между их центрами и количество общих касательных.

Показать подробное решение
При внешнем касании: d = R + r = 6 + 2 = 8 см.
Количество общих касательных: 3 (две внешние и одна внутренняя).
Продвинутый уровень

Задание 6 (№756)

Две окружности с радиусами 10 см и 6 см пересекаются. Каково наибольшее возможное расстояние между их центрами? Наименьшее?

Показать подробное решение
Для пересечения: |R − r| < d < R + r.
Наименьшее расстояние: чуть больше |10 − 6| = 4 см.
Наибольшее расстояние: чуть меньше 10 + 6 = 16 см.
Ответ: 4 см < d < 16 см.

🏗 Блок 3. Практическое применение

🎨 Продукт урока: «Проектировщик колодца»

Ты проектируешь круглый колодец. Радиус колодца 1,5 м. Нужно определить, на каком расстоянии от центра можно копать траншею для трубы шириной 0,4 м, чтобы она не задела колодец.

Задача: на каком минимальном расстоянии от центра колодца должна проходить траншея?

Показать расчёт проектировщика
Шаг 1: Радиус колодца R = 1,5 м.
Шаг 2: Ширина траншеи 0,4 м. Расстояние от центра до края траншеи должно быть ≥ R.
Шаг 3: Минимальное расстояние от центра до траншеи: d ≥ 1,5 + 0,2 = 1,7 м.
Вывод: траншея должна проходить не ближе 1,7 м от центра колодца. 💧

📝 Главное, что нужно запомнить

💡 Методическая подсказка (для учителя или родителя)