🟦 Площадь многоугольника

Геометрия 8 класс • Глава VII, §1, пункты 54–56 • Понятие площади, площадь квадрата и прямоугольника

🧠 Блок 1. Изучение нового материала

🌍 Разминка: зачем нужна площадь?

Покрасить забор, постелить линолеум, засеять газон, наклеить обои — во всех этих делах нужно знать площадь. А как её посчитать, если фигура сложная? Сегодня мы выведем самые первые формулы площади — для квадрата и прямоугольника — и поймём, на каких «трёх китах» держится вся теория площадей. 🏗️

📖 Ключевые термины

Термин	Определение
Площадь	Величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Обозначается буквой S.
Единица площади	Квадрат со стороной, равной единице измерения длины: мм², см², дм², м² и т.д.
Равные многоугольники	Многоугольники, которые совмещаются наложением. Имеют равные площади.
Составной многоугольник	Многоугольник, разбитый на части. Его площадь равна сумме площадей частей.

📐 Часть 1. Понятие площади (пункт 54)

🌟 Три основных свойства площадей

Все формулы площади выводятся из этих трёх фактов — как теорема Пифагора из аксиом:

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S = a².

Как «считается» площадь: единичные квадраты

🟨 Часть 2. Площадь квадрата (пункт 55)

🌟 Теорема: площадь квадрата

S = a²

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Важно: если сторона выражена числом a (в выбранных единицах), то площадь выражается числом a². Например, a = 3 см → S = 9 см².

🟦 Часть 3. Площадь прямоугольника (пункт 56)

🌟 Теорема: площадь прямоугольника

S = a · b

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

🔎 Доказательство S = a · b (метод достройки)

Достраиваем прямоугольник до квадрата со стороной (a + b). Считаем площадь большого квадрата двумя способами → получаем S = a·b.

💡 Следствия

1. Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b: S = ½·a·b (это половина прямоугольника).

2. Площадь квадрата через диагональ d: S = d² / 2.

🛠 Блок 2. Закрепление (задачи из учебника)

Сначала реши задачу в тетради, потом открой решение и проверь каждый шаг по чертежу! ✍️

Базовый уровень

Задание 1 (№545)

Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 3 см; б) 4 дм; в) 32 мм.

Показать подробное решение

Формула: S = a²

а) S = 3² = 9 см²

б) S = 4² = 16 дм²

в) S = 32² = 1024 мм²

Базовый уровень

Задание 2 (№546)

Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см²; б) 2,25 дм²; в) 12 м².

Показать подробное решение

Формула: из S = a² следует a = √S

а) a = √16 = 4 см

б) a = √2,25 = 1,5 дм

в) a = √12 = √(4·3) = 2√3 м

Базовый уровень

Задание 3 (№548 а, б)

Пусть a и b — смежные стороны прямоугольника, S — его площадь. Вычислите: а) S, если a = 8,5 см, b = 3,2 см; б) S, если a = 2√2 см, b = 3 см.

Показать подробное решение

Формула: S = a · b

а) S = 8,5 · 3,2 = 27,2 см²
Проверка: 8,5 · 3 = 25,5; 8,5 · 0,2 = 1,7; 25,5 + 1,7 = 27,2 ✅

б) S = 2√2 · 3 = 6√2 см²

Средний уровень

Задание 4 (№548 в, г)

Вычислите: в) b, если a = 32 см, S = 684,8 см²; г) a, если b = 4,5 см, S = 12,15 см².

Показать подробное решение

Формула: из S = a·b следует b = S : a (или a = S : b)

в) b = 684,8 : 32 = 21,4 см
Проверка: 32 · 21,4 = 32 · 21 + 32 · 0,4 = 672 + 12,8 = 684,8 ✅

г) a = 12,15 : 4,5 = 2,7 см
Проверка: 4,5 · 2,7 = 4,5 · 2 + 4,5 · 0,7 = 9 + 3,15 = 12,15 ✅

Средний уровень

Задание 5 (№549)

Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну из противоположных сторон увеличить в 2 раза; б) каждую сторону увеличить в 2 раза; в) одну пару увеличить в 2 раза, а другую — уменьшить в 2 раза?

Показать подробное решение

Было: S = a · b

а) Новая сторона: 2a. S₁ = 2a · b = 2 · (a·b) = 2S — площадь увеличилась в 2 раза.

б) Новые стороны: 2a и 2b. S₂ = 2a · 2b = 4 · (a·b) = 4S — площадь увеличилась в 4 раза.

в) Новые стороны: 2a и b/2. S₃ = 2a · b/2 = a · b = S — площадь не изменилась.

Средний уровень

Задание 6 (№550)

Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см², а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9 м², а периметр равен 12 м.

Показать подробное решение

а) Пусть меньшая сторона x, тогда большая 2,5x.
S = x · 2,5x = 2,5x² = 250 → x² = 100 → x = 10.
Стороны: 10 см и 25 см.
Проверка: 10 · 25 = 250 ✅

б) P = 2(a + b) = 12 → a + b = 6. Пусть стороны a и (6 − a).
S = a · (6 − a) = 9 → 6a − a² = 9 → a² − 6a + 9 = 0 → (a − 3)² = 0 → a = 3.
Стороны: 3 м и 3 м (это квадрат!).
Проверка: 3 · 3 = 9; P = 4 · 3 = 12 ✅

Продвинутый уровень

Задание 7 (№551)

Комната, имеющая форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, должна быть покрыта паркетом в форме прямоугольника. Длина каждой дощечки паркета 30 см, а ширина 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола комнаты?

Показать подробное решение

Шаг 1: Приводим к одним единицам.
5,5 м = 550 см; 6 м = 600 см.

Шаг 2: Площадь пола.
S₁ = 550 · 600 = 330 000 см².

Шаг 3: Площадь одной дощечки.
S₂ = 30 · 5 = 150 см².

Шаг 4: Количество дощечек.
N = 330 000 : 150 = 2200 дощечек.

Проверка: 2200 · 150 = 330 000 ✅

Продвинутый уровень

Задание 8 (№552)

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м?

Показать подробное решение

Шаг 1: Приводим к одним единицам.
3 м = 300 см; 2,7 м = 270 см.

Шаг 2: Площадь стены.
S₁ = 300 · 270 = 81 000 см².

Шаг 3: Площадь одной плитки.
S₂ = 15² = 225 см².

Шаг 4: Количество плиток.
N = 81 000 : 225 = 360 плиток.

Проверка: 360 · 225 = 81 000 ✅

Продвинутый уровень

Задание 9 (№553)

Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м.

Показать подробное решение

Шаг 1: Площадь прямоугольника.
S = 8 · 18 = 144 м².

Шаг 2: Площадь квадрата равна S.
a² = 144 → a = √144 = 12 м.

Проверка: 12² = 144 ✅

Дополнительная задача

Задание 10 (№554)

Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 м, а второй — форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько?

Показать подробное решение

Шаг 1: Периметр первого участка (= периметру второго).
P = 2 · (220 + 160) = 2 · 380 = 760 м.

Шаг 2: Сторона квадратного участка.
a = P : 4 = 760 : 4 = 190 м.

Шаг 3: Площадь первого участка.
S₁ = 220 · 160 = 35 200 м².

Шаг 4: Площадь второго участка.
S₂ = 190² = 36 100 м².

Шаг 5: Разница.
36 100 − 35 200 = 900 м².

Ответ: площадь квадратного участка больше на 900 м².
Вывод: при одинаковом периметре квадрат всегда даёт бо́льшую площадь, чем прямоугольник! 🏡

⚖️ Задачи на доказательство (идеи)

№543 — равные площади треугольников в параллелограмме

Идея: диагональ BD делит параллелограмм ABCD на два равных треугольника ABD и CDB → их площади равны. Точка, симметричная D относительно C, даёт точку E такую, что C — середина DE. Треугольники с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.

№544 — площадь треугольника ADE равна площади прямоугольника ABCD

Шаг 1: Основание треугольника ADE — это сторона AD прямоугольника.

Шаг 2: Высота треугольника ADE, опущенная из E на AD, равна стороне AB прямоугольника (так как E лежит на прямой BC, параллельной AD).

Шаг 3: S(ADE) = ½ · AD · AB = ½ · S(ABCD) × 2 = S(ABCD).
Точнее: S(ABCD) = AD · AB, а S(ADE) = ½ · AD · h, где h = AB · 2 (т.к. M — середина AE, E симметрична A относительно BC)... Вывод: S(ADE) = S(ABCD). ✅

Вывод формулы S = a · b для прямоугольника

Шаг 1: Достраиваем прямоугольник a×b до квадрата со стороной (a + b).

Шаг 2: Большой квадрат разбивается на: квадрат a×a, квадрат b×b и два прямоугольника a×b.

Шаг 3: По свойству 2: (a + b)² = a² + b² + 2·S.

Шаг 4: Раскрываем: a² + 2ab + b² = a² + b² + 2·S → 2ab = 2·S → S = ab. ✅

🏗 Блок 3. Практическое применение

🎨 Продукт урока: «Дизайнер напольного покрытия»

Ты дизайнер. Заказчик хочет покрыть пол в комнате 4 м × 5,5 м двумя видами плитки: основной (квадрат 40 см × 40 см) и декоративной (прямоугольник 20 см × 10 см). Декоративная плитка должна занять ровно 10% площади пола.

Задача: сколько плиток каждого вида нужно купить?

Показать расчёт дизайнера

Шаг 1: Приводим к одним единицам.
4 м = 400 см; 5,5 м = 550 см.

Шаг 2: Площадь пола.
S = 400 · 550 = 220 000 см².

Шаг 3: Площадь под декоративную плитку.
10% от 220 000 = 22 000 см².

Шаг 4: Площадь под основную плитку.
220 000 − 22 000 = 198 000 см².

Шаг 5: Площадь одной основной плитки.
40² = 1600 см².

Шаг 6: Количество основной плитки.
198 000 : 1600 = 124 плитки (с округлением в большую сторону, т.к. резать придётся).

Шаг 7: Площадь одной декоративной плитки.
20 · 10 = 200 см².

Шаг 8: Количество декоративной плитки.
22 000 : 200 = 110 плиток.

Итог: 124 основных + 110 декоративных плиток. 💡 Совет: всегда бери +5–10% «на подрезку»!

📝 Главное, что нужно запомнить

Три свойства площадей: равные фигуры → равные площади; площадь составной фигуры = сумма частей; площадь квадрата = a².
Площадь прямоугольника: S = a · b (произведение смежных сторон).
Площадь квадрата: S = a²; через диагональ: S = d² / 2.
Площадь прямоугольного треугольника: S = ½ · a · b (половина прямоугольника).
Перед вычислением: всегда приводи все величины к одной единице измерения!
При одинаковом периметре квадрат даёт бо́льшую площадь, чем прямоугольник.

💡 Методическая подсказка (для учителя или родителя)

Три свойства — основа всего: пусть ученик выучит их наизусть как «три кита». Все будущие формулы (параллелограмм, треугольник, трапеция) выводятся именно из них.
Доказательство S = ab: метод «достройки до квадрата» — красивый и наглядный. Нарисуйте на бумаге квадрат 5×5, вырежьте прямоугольник 3×2 — и убедитесь, что формула работает.
Единицы измерения (№551, 552): главная ловушка — метры и сантиметры в одном условии. Первое правило геометрии: сначала переводим всё в одни единицы, потом считаем.
Задача №550 б): получается квадрат! Это хороший повод обсудить, что квадрат — частный случай прямоугольника, и при фиксированном периметре именно квадрат даёт максимальную площадь.
Задача №554: ответ «квадрат больше на 900 м²» — повод для мини-исследования: «а всегда ли квадрат выигрывает при равном периметре?» (Да! Это можно доказать в 9 классе через неравенство о средних.)
Слабым ученикам: предложите рисовать «клеточки» (как на первом SVG урока) — это превращает абстрактную формулу в осязаемый счёт.