🛠 Блок 2. Закрепление (задачи из учебника)
Сначала реши задачу в тетради, потом открой решение и проверь каждый шаг по чертежу! ✍️
Базовый уровень
Задание 1 (№555)
Пусть a — основание, h — высота, а S — площадь параллелограмма. Найдите: а) S, если a = 15 см, h = 12 см; б) a, если S = 34 см², h = 8,5 см; в) a, если S = 162 см², h = ½a.
Показать подробное решение
а) S = a · h = 15 · 12 = 180 см².
б) S = a · h → a = S : h = 34 : 8,5 = 4 см.
в) S = a · h, причём h = ½a. Тогда S = a · (½a) = ½a². Значит ½a² = 162 → a² = 324 → a = 18 см.
Проверка в): 18 · 9 = 162 ✅
Базовый уровень
Задание 2 (№556)
Диагональ параллелограмма равна 13 см и перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
Показать подробное решение
Шаг 1: Диагональ перпендикулярна стороне → это высота параллелограмма, проведённая к этой стороне. Значит h = 13 см (диагональ), a = 12 см (сторона).
Шаг 2: Но подождите: диагональ = 13, сторона = 12. По теореме Пифагора (которую мы ещё не прошли, но можем проверить): второй катет = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 см. Это другая сторона параллелограмма.
Шаг 3: Площадь S = a · h = 12 · 13 = 156 см².
Замечание: здесь диагональ играет роль высоты, потому что она перпендикулярна стороне.
Базовый уровень
Задание 3 (№557)
Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
Показать подробное решение
Шаг 1: Проведём высоту h из вершины тупого угла к стороне 14 см. В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет против угла 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза = 12 см (боковая сторона), значит h = 12 : 2 = 6 см.
Шаг 2: Площадь S = a · h = 14 · 6 = 84 см².
Ключевой приём: угол 30° → высота равна половине боковой стороны.
Базовый уровень
Задание 4 (№558)
Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба.
Показать подробное решение
Шаг 1: Угол ромба 150°, значит смежный с ним угол = 180° − 150° = 30°.
Шаг 2: Проведём высоту h к стороне 6 см. В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет против 30° равен половине гипотенузы: h = 6 : 2 = 3 см.
Шаг 3: Площадь ромба S = a · h = 6 · 3 = 18 см².
Ромб — это параллелограмм, поэтому формула S = a · h работает.
Средний уровень
Задание 5 (№559)
Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллелограмма.
Показать подробное решение
Шаг 1: Диагональ 14 см образует со стороной 8,1 см угол 30°. Опустим перпендикуляр из противоположной вершины на эту сторону — это будет высота h.
Шаг 2: В прямоугольном треугольнике с углом 30° и гипотенузой 14 см (диагональ) катет против угла 30° равен половине гипотенузы: h = 14 : 2 = 7 см.
Шаг 3: Площадь S = a · h = 8,1 · 7 = 56,7 см².
Проверка: 8,1 · 7 = 8 · 7 + 0,1 · 7 = 56 + 0,7 = 56,7 ✅
Средний уровень
Задание 6 (№560)
Пусть a и b — смежные стороны параллелограмма, S — его площадь, а h₁ и h₂ — его высоты. Найдите: а) h₂, если a = 18 см, b = 30 см, h₁ = 6 см, h₂ > h₁; б) h₁, если a = 10 см, b = 15 см, h₂ = 6 см, h₂ > h₁; в) h₁ и h₂, если S = 54 см², a = 4,5 см, b = 6 см.
Показать подробное решение
Идея: площадь параллелограмма можно выразить двумя способами: S = a · h₂ = b · h₁ (h₁ — высота к стороне b, h₂ — высота к стороне a). Меньшей стороне отвечает большая высота.
а) h₁ — высота к стороне b = 30 см: S = b · h₁ = 30 · 6 = 180 см². Тогда h₂ = S : a = 180 : 18 = 10 см. Проверка: h₂ = 10 > h₁ = 6 ✅.
б) h₂ — высота к стороне a = 10 см: S = a · h₂ = 10 · 6 = 60 см². Тогда h₁ = S : b = 60 : 15 = 4 см. Проверка: h₁ = 4 < h₂ = 6 ✅.
в) h₁ = S : b = 54 : 6 = 9 см, h₂ = S : a = 54 : 4,5 = 12 см. Проверка: a = 4,5 < b = 6, значит h₂ > h₁ (12 > 9) ✅.
Средний уровень
Задание 7 (№561)
Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.
Показать подробное решение
Шаг 1: Из вершины тупого угла проведены две высоты: одна к большей стороне (равна 2 см), другая к меньшей стороне (равна 3 см).
Шаг 2: В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет против 30° равен половине гипотенузы. Высота 2 см проведена к стороне a → a = 2 · 2 = 4 см. Высота 3 см проведена к стороне b → b = 2 · 3 = 6 см.
Шаг 3: Площадь S = a · h₂ = 4 · 3 = 12 см² (или S = b · h₁ = 6 · 2 = 12 см²).
Проверка: 4 · 3 = 12 и 6 · 2 = 12 ✅
Средний уровень
Задание 8 (№564)
Пусть a — основание, h — высота, а S — площадь треугольника. Найдите: а) S, если a = 7 см, h = 11 см; б) S, если a = 2/3 см, h = 5 см; в) h, если S = 37,8 см², a = 14 см; г) a, если S = 12 см², h = 3√2 см.
Показать подробное решение
а) S = ½ · a · h = ½ · 7 · 11 = 38,5 см².
б) S = ½ · (2/3) · 5 = ½ · 10/3 = 5/3 см² (или ≈ 1,67 см²).
в) S = ½ · a · h → h = 2S : a = 2 · 37,8 : 14 = 75,6 : 14 = 5,4 см.
г) S = ½ · a · h → a = 2S : h = 2 · 12 : (3√2) = 24 : (3√2) = 8 : √2 = 8√2 : 2 = 4√2 см.
Проверка в): ½ · 14 · 5,4 = 7 · 5,4 = 37,8 ✅
Средний уровень
Задание 9 (№565)
Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне AB, равна 11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне BC.
Показать подробное решение
Шаг 1: Площадь треугольника можно выразить двумя способами: S = ½ · AB · h₁ = ½ · BC · h₂, где h₁ = 11 см (высота к AB), h₂ — высота к BC.
Шаг 2: S = ½ · 16 · 11 = 88 см².
Шаг 3: 88 = ½ · 22 · h₂ → h₂ = 2 · 88 : 22 = 176 : 22 = 8 см.
Проверка: ½ · 22 · 8 = 11 · 8 = 88 ✅
Средний уровень
Задание 10 (№566)
Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведённая к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей из данных сторон.
Показать подробное решение
Шаг 1: Большая сторона = 7,5 см, высота к ней h₁ = 2,4 см. Площадь S = ½ · 7,5 · 2,4 = ½ · 18 = 9 см².
Шаг 2: Меньшая сторона = 3,2 см, высота к ней h₂. S = ½ · 3,2 · h₂ = 9 → h₂ = 2 · 9 : 3,2 = 18 : 3,2 = 5,625 см (или 5 5/8 см).
Проверка: ½ · 3,2 · 5,625 = 1,6 · 5,625 = 9 ✅
Средний уровень
Задание 11 (№567)
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.
Показать подробное решение
Идея: в прямоугольном треугольнике катеты можно считать основанием и высотой.
а) S = ½ · 4 · 11 = 22 см².
б) S = ½ · 1,2 · 3 = 1,8 дм².
Средний уровень
Задание 12 (№568)
Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7/24.
Показать подробное решение
Шаг 1: Пусть катеты равны 7x и 24x. Тогда S = ½ · 7x · 24x = ½ · 168x² = 84x².
Шаг 2: 84x² = 168 → x² = 2 → x = √2.
Шаг 3: Катеты: 7√2 см и 24√2 см.
Проверка: ½ · 7√2 · 24√2 = ½ · 168 · 2 = 168 ✅
Средний уровень
Задание 13 (№569)
Пусть a, b, c — стороны треугольника, P — периметр, r — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника. Найдите: а) S, если P = 56, r = 3,5; б) S, если P = 144, r = 3,5; в) a, если b = 15, c = 20, r = 2, S = 42.
Показать подробное решение
Формула: S = p · r, где p = P : 2 (полупериметр).
а) p = 56 : 2 = 28. S = 28 · 3,5 = 98.
б) p = 144 : 2 = 72. S = 72 · 3,5 = 252.
в) S = p · r → p = S : r = 42 : 2 = 21. P = 2p = 42. Тогда a = P − b − c = 42 − 15 − 20 = 7.
Проверка в): P = 7 + 15 + 20 = 42, p = 21, S = 21 · 2 = 42 ✅
Продвинутый уровень
Задание 14 (№570)
В треугольник ABC вписана окружность радиуса 3 см, которая касается сторон AB, BC и CA в точках P, Q и R. Найдите площадь треугольника ABC, если AP = 5 см, BQ = 5 см, CR = 6 см.
Показать подробное решение
Шаг 1: По свойству касательных: AP = AR = 5, BP = BQ = 5, CQ = CR = 6. Значит стороны: AB = AP + BP = 10, BC = BQ + CQ = 11, CA = CR + AR = 11.
Шаг 2: Периметр P = 10 + 11 + 11 = 32. Полупериметр p = 16.
Шаг 3: S = p · r = 16 · 3 = 48 см².
Проверка: треугольник существует (10 + 11 > 11) ✅
Продвинутый уровень
Задание 15 (№578)
Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если: а) AB = 21 см, CD = 17 см, высота BH равна 7 см; б) ∠D = 30°, AB = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см.
Показать подробное решение
а) S = ½ · (AB + CD) · h = ½ · (21 + 17) · 7 = ½ · 38 · 7 = 133 см².
б) Проведём высоту BH из вершины B к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH угол ∠A = 180° − 30° = 150°? Нет, ∠D = 30°, значит ∠A = 180° − 30° = 150° — это тупой угол. Проведём высоту из B к AD: в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет против 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза DA = 8 → h = 8 : 2 = 4 см. Тогда S = ½ · (2 + 10) · 4 = ½ · 12 · 4 = 24 см².
Проверка а): ½ · 38 · 7 = 19 · 7 = 133 ✅
Продвинутый уровень
Задание 16 (№579)
Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.
Показать подробное решение
Шаг 1: Прямоугольная трапеция — значит два угла прямые (при меньшей боковой стороне). Меньшие стороны — это высота (6 см) и верхнее основание (6 см).
Шаг 2: Больший угол 135° — это угол при нижнем основании. Проведём высоту из вершины верхнего основания: получится прямоугольный треугольник с углом 180° − 135° = 45°. Значит треугольник равнобедренный: высота = разности оснований = 6 см.
Шаг 3: Тогда нижнее основание = верхнее + 6 = 6 + 6 = 12 см.
Шаг 4: S = ½ · (6 + 12) · 6 = ½ · 18 · 6 = 54 см².
Проверка: ½ · 18 · 6 = 9 · 6 = 54 ✅
Продвинутый уровень
Задание 17 (№580)
Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.
Показать подробное решение
Шаг 1: Тупой угол 135°, значит острый угол = 180° − 135° = 45°. Высота из вершины тупого угла отсекает прямоугольный треугольник с углом 45° — значит он равнобедренный: высота = горизонтальному отрезку = 3,4 см.
Шаг 2: Большее основание = 4 + 3,4 = 7,4 см. Меньшее основание = 4 − 3,4 = 0,6 см? Нет, это невозможно. Значит высота делит основание на отрезки 4 и 3,4, причём 4 — это часть, равная верхнему основанию, а 3,4 — проекция боковой стороны.
Шаг 3: Тогда верхнее основание = 4 см, нижнее = 4 + 3,4 = 7,4 см? Нет, высота проведена из вершины тупого угла, значит она делит нижнее основание на отрезки. Один отрезок = 4 (равен верхнему основанию), другой = 3,4 (проекция боковой). Значит нижнее основание = 4 + 3,4 = 7,4 см, верхнее = 4 см.
Шаг 4: Высота = 3,4 см (из равнобедренного треугольника с углом 45°).
Шаг 5: S = ½ · (4 + 7,4) · 3,4 = ½ · 11,4 · 3,4 = 19,38 см².
Проверка: ½ · 11,4 · 3,4 = 5,7 · 3,4 = 19,38 ✅
Продвинутый уровень
Задание 18 (№574)
Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.
Показать подробное решение
Доказательство: ромб можно разбить диагоналями на 4 равных прямоугольных треугольника. Площадь каждого = ½ · (d₁/2) · (d₂/2) = d₁d₂/8. Четыре треугольника: S = 4 · d₁d₂/8 = ½d₁d₂.
Или: ромб — это параллелограмм. Его диагонали перпендикулярны. Примем одну диагональ за основание, тогда высота = половине другой диагонали. S = d₁ · (d₂/2) = ½d₁d₂.
а) Приведём к одним единицам: 3,2 дм = 32 см. S = ½ · 32 · 14 = 224 см².
б) 4,6 дм = 46 см. S = ½ · 46 · 2 = 46 см².
Продвинутый уровень
Задание 19 (№575)
Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см².
Показать подробное решение
Шаг 1: Пусть меньшая диагональ = d, тогда большая = 1,5d.
Шаг 2: S = ½ · d · 1,5d = 0,75d² = 27 → d² = 36 → d = 6 см.
Шаг 3: Большая диагональ = 1,5 · 6 = 9 см.
Ответ: диагонали равны 6 см и 9 см.
Проверка: ½ · 6 · 9 = 27 ✅
Продвинутый уровень
Задание 20 (№576)
В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
Показать доказательство
Шаг 1: Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O под прямым углом. Четырёхугольник разбивается на 4 прямоугольных треугольника: AOB, BOC, COD, DOA.
Шаг 2: Площадь каждого треугольника = ½ · произведение катетов. S(AOB) = ½ · AO · BO, S(BOC) = ½ · BO · OC, S(COD) = ½ · OC · OD, S(DOA) = ½ · OD · AO.
Шаг 3: Сумма: S = ½ · (AO · BO + BO · OC + OC · OD + OD · AO) = ½ · BO · (AO + OC) + ½ · OD · (OC + AO) = ½ · (AO + OC) · (BO + OD) = ½ · AC · BD.
Вывод: S = ½ · d₁ · d₂. ✅
Продвинутый уровень
Задание 21 (№577)
Точки M и N лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC. Найдите: а) S(AMN), если AB = 5 см, AC = 6 см, AM = 3 см, AN = 2 см, S(ABC) = 10 см²; б) AM, если AB = 8 см, AC = 3 см, AN = 2 см, S(ABC) = 10 см², S(AMN) = 2 см².
Показать подробное решение
Идея: если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведению сторон, заключающих этот угол: S(AMN) / S(ABC) = (AM · AN) / (AB · AC).
а) S(AMN) / 10 = (3 · 2) / (5 · 6) = 6 / 30 = 1/5 → S(AMN) = 10 · 1/5 = 2 см².
б) 2 / 10 = (AM · 2) / (8 · 3) → 1/5 = 2AM / 24 → 2AM = 24/5 = 4,8 → AM = 2,4 см.
Проверка б): (2,4 · 2) / (8 · 3) = 4,8 / 24 = 1/5 = 2/10 ✅
⚖️ Задачи на доказательство (идеи)
№571 — треугольники с общим основанием и вершинами на параллельной прямой имеют равные площади
Идея: все треугольники имеют общее основание AB и одинаковую высоту (расстояние между параллельными прямыми). Значит их площади равны: S = ½ · AB · h.
№572 — медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
Идея: медиана делит основание пополам. Два треугольника имеют общую высоту и равные основания → их площади равны.
№573 — разделить треугольник на три равновеликих треугольника
Идея: разделить одну сторону на 3 равные части и соединить точки деления с противоположной вершиной. Получим 3 треугольника с равными основаниями и общей высотой.