🧠 Блок 1. Теоретический блиц (вопросы 1–22)
Как работать: прочитай вопрос → подумай и запиши ответ в тетради → нажми кнопку «Показать ответ» и проверь себя. Ошибся — не беда, это подсказка, что повторить! 🎯
▱ Многоугольники и четырёхугольники (вопросы 1–5)
1. Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.
Показать ответ
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Углами выпуклого многоугольника называются его внутренние углы (каждый меньше 180°).
2. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.
Показать ответ
Из одной вершины проводим все диагонали: они разбивают n-угольник на (n − 2) треугольников. Сумма углов каждого треугольника 180°, значит сумма углов многоугольника = (n − 2) · 180°.
3. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Показать ответ
Внешний угол при вершине равен 180° − внутренний. Сумма внешних углов: n·180° − (n − 2)·180° = 360°.
4. Начертите четырёхугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины.
Показать ответ
В четырёхугольнике ABCD: диагонали — AC и BD; противоположные стороны — AB и CD, BC и AD; противоположные вершины — A и C, B и D. Проверь по своему чертежу: диагонали соединяют несоседние вершины.
5. Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника?
Показать ответ
(4 − 2)·180° = 360°.
▱ Параллелограмм (вопросы 6–9)
6. Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырёхугольником?
Показать ответ
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Да, он выпуклый: каждая сторона не имеет общих точек с прямой через противоположную сторону, поэтому фигура лежит по одну сторону от любой прямой через соседние вершины.
7. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Показать ответ
Диагональ AC делит параллелограмм на треугольники ABC и CDA; они равны по стороне и двум прилежащим углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых) → AB = CD, AD = BC, ∠B = D. Тогда A = ∠C как суммы равных углов.
8. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Показать ответ
Треугольники AOB и COD равны (AB = CD и накрест лежащие углы при секущих AC и BD) → AO = OC и BO = OD.
9. Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.
Показать ответ
Признаки: 1) если две стороны равны и параллельны; 2) если противоположные стороны попарно равны; 3) если диагонали пересекаются и делятся пополам. Все три доказательства проводятся через равные треугольники (пункт 49 учебника).
⏢ Трапеция (вопросы 10–11)
10. Какой четырёхугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?
Показать ответ
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны — основания, остальные — боковые стороны.
11. Какая трапеция называется равнобедренной; прямоугольной?
Показать ответ
Равнобедренная — боковые стороны равны; прямоугольная — один из углов прямой (тогда прямых угла два).
⬛ Прямоугольник, ромб, квадрат (вопросы 12–19)
12. Какой четырёхугольник называется прямоугольником?
Показать ответ
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
13. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.
Показать ответ
Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам (CD = BA, AD — общая) → их гипотенузы равны: AC = BD.
14. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Показать ответ
Треугольники ABD и DCA равны по трём сторонам (AB = DC, BD = CA, AD — общая) → ∠A = ∠D. В параллелограмме ∠A + D = 180°, значит ∠A = ∠D = 90°, и все углы прямые → это прямоугольник.
15. Какой четырёхугольник называется ромбом?
Показать ответ
Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
16. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Показать ответ
Треугольник BAD равнобедренный (AB = AD); отрезок AO — медиана к основанию BD (диагонали делятся пополам), значит AO — также высота и биссектриса: AC ⊥ BD и ∠BAC = ∠DAC.
17. Какой четырёхугольник называется квадратом? Перечислите основные свойства квадрата.
Показать ответ
Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Свойства: все углы прямые; диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
18. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке квадрата.
Показать ответ
Признак: ромб с одним прямым углом — квадрат. Доказательство: в ромбе противоположные углы равны, смежные в сумме 180° → из одного прямого угла получаем все четыре прямых, а стороны уже равны → это квадрат.
19. Сформулируйте и докажите утверждения о признаках ромба.
Показать ответ
Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам. Доказательства: а) из равенства прямоугольных треугольников AOB и AOD следует AB = AD; б) накрест лежащие углы дают равнобедренный треугольник → смежные стороны равны.
🔄 Симметрия (вопросы 20–22)
20. Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
Показать ответ
Точки A и A₁ симметричны относительно точки O, если O — середина отрезка AA₁. Точка O считается симметричной самой себе.
21. Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?
Показать ответ
Фигура симметрична относительно точки O, если для каждой её точки симметричная ей точка относительно O тоже принадлежит фигуре. Точка O — центр симметрии фигуры.
22. Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.
Показать ответ
а) Равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб; б) параллелограмм, окружность; в) квадрат, прямоугольник, окружность.
🛠 Блок 2. Дополнительные задачи (№520–540)
Задачи сгруппированы по темам. Сначала попробуй сам, потом сверься с решением и чертежом! ✍️
Тема: углы четырёхугольника
Задание 1 (№520)
Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
Показать доказательство
Шаг 1: Предположим обратное: тупых углов нет, то есть каждый угол ≤ 90°.
Шаг 2: Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Если хотя бы один угол меньше 90°, сумма будет меньше 360° — противоречие.
Шаг 3: Значит, все углы ровно по 90° — но тогда все они равны, что противоречит условию.
Вывод: предположение неверно — хотя бы один угол тупой. ✅
Задание 2 (№525)
Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.
Показать доказательство
Шаг 1: Пусть ∠A + ∠B = 180° (углы при стороне AB) и ∠B + ∠C = 180° (углы при стороне BC).
Шаг 2: ∠A + B = 180° — односторонние углы при прямых AD и BC с секущей AB → AD ∥ BC.
Шаг 3: ∠B + C = 180° — односторонние углы при прямых AB и CD с секущей BC → AB ∥ CD.
Вывод: противоположные стороны попарно параллельны → ABCD — параллелограмм. ✅
Задание 3 (№526)
Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.
Показать доказательство
Шаг 1: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D; сумма всех углов 360° → 2(∠A + ∠B) = 360° → ∠A + ∠B = 180°.
Шаг 2: Тогда AD ∥ BC (односторонние углы при секущей AB). Аналогично ∠B + ∠C = 180° → AB ∥ CD.
Вывод: ABCD — параллелограмм. ✅
Тема: биссектрисы
Задание 4 (№521)
Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, AB = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла A? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
Показать подробное решение
Шаг 1: BC = 46 : 2 − 14 = 9 см.
Шаг 2: Биссектриса угла A отсекает равнобедренный треугольник со стороной, равной AB = 14 см. Так как 14 > 9, на стороне BC биссектриса «не помещается» — она пересекает сторону CD.
Шаг 3: Треугольник ADK равнобедренный: DK = AD = 9 см; тогда KC = 14 − 9 = 5 см.
Ответ: сторону CD; отрезки 9 см и 5 см.
Задание 5 (№522)
Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Показать подробное решение
Шаг 1: Биссектриса угла A отсекает DK = AD = 3 см; биссектриса угла B отсекает CK′ = BC = 3 см.
Шаг 2: Средний отрезок: 10 − 3 − 3 = 4 см.
Ответ: 3 см, 4 см, 3 см.
Задание 6 (№524)
В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
Показать доказательство с чертежом
Шаг 1: Биссектрисы соседних углов A и B пересекаются в точке P. В треугольнике APB: ∠PAB + ∠PBA = ½(∠A + ∠B) = ½ · 180° = 90° → ∠APB = 90°.
Шаг 2: Точно так же каждый из четырёх углов внутреннего четырёхугольника равен 90°.
Вывод: четырёхугольник с четырьмя прямыми углами — прямоугольник (задача 503). ✅
Тема: середины, медианы, средние линии
Задание 7 (№523)
Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
Показать доказательство с чертежом
Шаг 1: Точка D на основании AC; DF ∥ BC (F на AB), DE ∥ AB (E на BC). Четырёхугольник FBED — параллелограмм (FB ∥ ED, BE ∥ DF).
Шаг 2: ∠FDA = ∠BCA (соответственные при DF ∥ CB) = ∠BAC (углы при основании) → треугольник AFD равнобедренный: FA = FD (зелёные метки).
Шаг 3: Аналогично ∠EDC = ∠BAC = ∠BCA → треугольник DEC равнобедренный: ED = EC (фиолетовые метки).
Шаг 4: Периметр FBED = FB + BE + ED + DF = FB + BE + EC + FA = (FA + FB) + (BE + EC) = AB + BC.
Вывод: периметр четырёхугольника равен сумме боковых сторон. ✅
Задание 8 (№527)
Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая BK пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что AD = ⅓·AC.
Показать доказательство с чертежом
Шаг 1: Проведём ME ∥ BD (E на AC). В треугольнике BCD: M — середина BC, ME ∥ BD → E — середина DC.
Шаг 2: В треугольнике AME: K — середина AM, KD ∥ ME → D — середина AE.
Шаг 3: Тогда AD = DE = EC (цветные отрезки на AC), значит AC = 3·AD.
Вывод: AD = ⅓·AC. ✅
Задание 9 (№528)
Точки M и N — середины сторон AD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части.
Показать доказательство с чертежом
Шаг 1: AM ∥ NC и AM = ½AD = ½BC = NC → AMCN — параллелограмм → AN ∥ MC.
Шаг 2: Пусть P = AN ∩ BD, Q = MC ∩ BD. В треугольнике CBQ: N — середина CB, NP ∥ CQ → P — середина BQ → BP = PQ.
Шаг 3: В треугольнике ADP: M — середина AD, MQ ∥ AP → Q — середина DP → PQ = QD.
Вывод: BP = PQ = QD — диагональ поделена на три равные части (зелёные метки). ✅
Задание 10 (№531)
Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.
Показать доказательство
Шаг 1: Треугольник ABC, точка D на BC, M — середина AD; P и Q — середины AB и AC; PQ — средняя линия → PQ ∥ BC.
Шаг 2: В треугольнике ABD: P — середина AB, M — середина AD → PM — средняя линия → PM ∥ BD, то есть PM ∥ BC.
Шаг 3: Через точку P проходит лишь одна прямая, параллельная BC, — это PQ. Значит M лежит на прямой PQ, а так как D внутри BC, то M — внутри отрезка PQ.
Вывод: M лежит на отрезке PQ. ✅
Тема: ромб и квадрат
Задание 11 (№529)
Из вершины B ромба ABCD проведены перпендикуляры BK и BM к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла KBM.
Показать доказательство
Шаг 1: Диагональ BD делит угол ADC ромба пополам: ∠BDK = ∠BDM (K на прямой AD, M на прямой DC).
Шаг 2: Прямоугольные треугольники BKD и BMD равны по гипотенузе BD и острому углу (∠BDK = ∠BDM).
Вывод: ∠KBD = ∠MBD, то есть луч BD — биссектриса угла KBM. ✅
Задание 12 (№530)
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Показать доказательство
Шаг 1: Диагонали ромба — биссектрисы его углов. Точка O лежит на биссектрисе угла A → равноудалена от сторон AB и AD.
Шаг 2: O лежит на биссектрисе угла B → равноудалена от сторон AB и BC. Соединяя такие равенства для всех углов, получаем: расстояния от O до всех четырёх сторон равны.
Вывод: O равноудалена от сторон ромба. ✅
Задание 13 (№532)
Диагональ AC квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная к прямой AC, пересекает прямые BC и CD соответственно в точках M и N. Найдите MN.
Показать подробное решение
Шаг 1: ∠ACM = ∠ACN = 45° (диагональ делит углы квадрата пополам).
Шаг 2: Треугольники ACM и ACN прямоугольные (∠MAC = ∠NAC = 90°) с острым углом 45° → равнобедренные: AM = AN = AC = 18,4 см.
Ответ: MN = AM + AN = 36,8 см.
Задание 14 (№533)
На диагонали AC квадрата ABCD взята точка M такая, что AM = AB. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная к прямой AC и пересекающая BC в точке H. Докажите, что BH = HM = MC.
Показать доказательство с чертежом
Шаг 1: Треугольники ABH и AMH прямоугольные (∠ABH = 90°, ∠AMH = 90°), AH — общая гипотенуза, AB = AM по условию → равны по катету и гипотенузе → BH = HM.
Шаг 2: В треугольнике HMC: ∠HMC = 90°, ∠MCH = ∠ACB = 45° → ∠MHC = 45° → треугольник равнобедренный: HM = MC.
Вывод: BH = HM = MC (зелёные метки). ✅
Тема: трапеции (задачи со звёздочкой)
Задание 15 (№534)
В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, а ∠D = 60°.
Показать подробное решение
Шаг 1: ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие) = ∠BAC → BC = AB.
Шаг 2: В треугольнике ACD: ∠ACD = 90°, ∠D = 60° → ∠CAD = 30° → CD = AD : 2.
Шаг 3: ∠BAD = 60° = ∠D → трапеция равнобедренная → AB = CD = AD : 2, и BC = AD : 2.
Шаг 4: Периметр: 4 · (AD : 2) + AD = 2,5·AD = 20 → AD = 8 см.
Ответ: AD = 8 см. Проверка: 4 + 4 + 4 + 8 = 20 ✅
Задание 16 (№535*)
Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
Показать доказательство с чертежом
Шаг 1: M — середина BC, N — середина AD. Проведём MP ∥ AB и MQ ∥ CD (P, Q на AD). Тогда AP = BM = ½BC и QD = MC = ½BC.
Шаг 2: PQ = AD − AP − QD = AD − BC. При этом PN = AN − AP = ½AD − ½BC = ½PQ → N — середина PQ.
Шаг 3: ∠MPQ = ∠A и ∠MQP = ∠D (соответственные), а ∠A + D = 90° → ∠PMQ = 90° (квадратик у M).
Шаг 4: MN — медиана прямоугольного треугольника PMQ к гипотенузе PQ → MN = ½PQ = ½(AD − BC).
Вывод: отрезок середин оснований равен полуразности оснований. ✅
Тема: симметрия и конструкции
Задание 17 (№536*)
На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в 2 раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
Показать доказательство с чертежом
Шаг 1: Удвоим медиану AM: отложим MK = AM. Диагонали AK и BC четырёхугольника ABKC делятся пополам → ABKC — параллелограмм → BK = AC и ∠ABK = 180° − ∠BAC.
Шаг 2: В треугольнике PAQ: AP = AB (сторона квадрата), AQ = AC = BK, а ∠PAQ = 360° − 90° − 90° − ∠BAC = 180° − ∠BAC = ∠ABK.
Шаг 3: Треугольники PAQ и ABK равны по двум сторонам и углу между ними → PQ = AK = 2·AM (зелёные метки).
Вывод: PQ = 2·AM. ✅
Задание 18 (№537, №538)
Докажите: а) прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии; б) точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.
Показать доказательства
а) Осевая симметрия относительно прямой AC: точки A и C остаются на месте, а B и D меняются местами (BD ⊥ AC и O — середина BD). Значит стороны ромба переходят в стороны → ромб отображается на себя.
б) Центральная симметрия относительно O: A ↔ C, B ↔ D (O — середина диагоналей), поэтому каждая сторона переходит в противоположную → параллелограмм отображается на себя.
Задание 19 (№539)
Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?
Показать подробное решение
Шаг 1: Симметрия относительно центра O должна перевести пару прямых в себя. Каждая прямая не может перейти в себя (иначе O лежала бы на обеих прямых, а они не пересекаются) → прямые меняются местами.
Шаг 2: Это выполняется для любой точки O «средней линии» — прямой, параллельной обеим и равноудалённой от них.
Ответ: бесконечно много.
Задание 20 (№540*)
Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.
Показать доказательство
Шаг 1: Пусть a и b — взаимно перпендикулярные оси симметрии фигуры, O — точка их пересечения.
Шаг 2: Композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся осей — поворот вокруг точки пересечения на удвоенный угол между осями. Угол между a и b равен 90° → композиция есть поворот на 180°, то есть центральная симметрия относительно O.
Шаг 3: Фигура отображается на себя при каждой из симметрий, значит и при их композиции → O — центр симметрии фигуры.
Вывод: доказано. ✅