⬛ Прямоугольник, ромб, квадрат

Геометрия 8 класс • Глава VI, §3, пункты 51–53 • Свойства, признаки, центральная симметрия

🧠 Блок 1. Изучение нового материала

🌍 Разминка: семья четырёхугольников

Дверь и экран телефона — прямоугольники, воздушный змей и узор на плитке — ромбы, шахматная доска и стикер — квадраты. Все они — «родственники» параллелограмма! Сегодня разберёмся, кто есть кто в этой семье и чем каждый из них особенный. 👨‍👩‍‍👦

▭ Часть 1. Прямоугольник (пункт 51)

📖 Определение

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Значит, ему достаются все свойства параллелограмма: противоположные стороны равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам.

▭ Прямоугольник и его диагонали

A B C D O AO = OC = BO = OD, значит AC = BD

Что видно на рисунке: все четыре угла прямые (квадратики); диагонали равны и делятся пополам, поэтому все четыре отрезка AO, OC, BO, OD равны между собой (зелёные метки).

🌟 Особое свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD

Почему? Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам (CD = BA, AD — общая), значит их гипотенузы равны: AC = BD.

🔑 Признак прямоугольника

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

◆ Часть 2. Ромб (пункт 52)

📖 Определение

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ему тоже достаются все свойства параллелограмма.

◆ Ромб: диагонали-«крест» и диагональ-биссектриса

A B C D O стороны равны; AC ⊥ BD; ∠DAC = ∠BAC

Что видно на рисунке: все четыре стороны равны (зелёные метки); диагонали пересекаются под прямым углом (квадратик у точки O); диагональ AC делит угол A пополам — две красные дуги с одинаковыми метками равны.

🌟 Особое свойство ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам

Почему? Треугольник BAD равнобедренный (AB = AD), а AO — его медиана (диагонали делятся пополам). Значит AO — ещё и высота, и биссектриса!

🔑 Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

◼ Часть 3. Квадрат (пункт 52)

📖 Определение

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. То есть квадрат — это одновременно и прямоугольник, и ромб! Поэтому он обладает всеми их свойствами.

◼ Квадрат: «всё сразу»

45° A B C D O стороны равны; диагонали равны, перпендикулярны, делят углы пополам

Что видно на рисунке: стороны равны (зелёные метки); половины диагоналей равны (фиолетовые метки); диагонали перпендикулярны (квадратик у O); каждая диагональ делит угол пополам — получаются углы по 45° (красная дуга).

🌟 Свойства квадрата

1. Все углы квадрата прямые.
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

👨👩‍‍ Семейное древо четырёхугольников

Четырёхугольник Параллелограмм Прямоугольник Ромб Квадрат все углы прямые все стороны равны все стороны равны все углы прямые

Квадрат — «ребёнок» прямоугольника и ромба сразу: берёт свойства от обоих!

СвойствоПрямоугольникРомбКвадрат
Стороныпротивоположные равнывсе равнывсе равны
Углывсе по 90°противоположные равнывсе по 90°
Диагоналиравны, делятся пополамперпендикулярны, делят углы пополамравны, перпендикулярны, делят углы пополам

🔄 Часть 4. Центральная симметрия (пункт 53)

📖 Определения

Точки A и A₁ называются симметричными относительно точки O, если O — середина отрезка AA₁. Точка O считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки, если для каждой её точки симметричная точка тоже принадлежит фигуре. Точка O — центр симметрии.

Симметричные точки и центр симметрии

A O A₁ AO = OA₁ O центр — точка пересечения диагоналей

🌟 Примеры фигур с центром симметрии

• Окружность — центр симметрии это её центр.
• Параллелограмм — центр симметрии это точка пересечения диагоналей.
• Прямая — бесконечно много центров (любая её точка).
• Произвольный треугольник — центра симметрии НЕ имеет! ❌

🛠 Блок 2. Закрепление (задачи из учебника)

Сначала реши задачу в тетради, потом открой решение и проверь каждый шаг по чертежу! ✍️

Базовый уровень

Задание 1 (№506)

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника AOB, если ∠CAD = 30°, AC = 12 см.

Показать подробное решение
30° A B C D O
Шаг 1: Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам: AO = BO = AC : 2 = 12 : 2 = 6 см.
Шаг 2: ∠BAD = 90°, значит ∠BAC = 90° − ∠CAD = 90° − 30° = 60°, то есть ∠OAB = 60°.
Шаг 3: Треугольник AOB равнобедренный (AO = BO), значит ∠OBA = ∠OAB = 60°, тогда и третий угол ∠AOB = 60°. Треугольник равносторонний: AB = AO = 6 см.
Ответ: P = 6 + 6 + 6 = 18 см.
Базовый уровень

Задание 2 (№508)

Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠B = 60°, AC = 10,5 см.

Показать подробное решение
60° A B C D
Шаг 1: В треугольнике ABC стороны AB = BC (стороны ромба), значит он равнобедренный.
Шаг 2: Угол при вершине B равен 60°, тогда углы при основании: (180° − 60°) : 2 = 60°. Все углы по 60° → треугольник равносторонний: AB = AC = 10,5 см.
Ответ: P = 4 · 10,5 = 42 см.
Базовый уровень

Задание 3 (№507)

В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

Показать подробное решение
60° A B C D
а) Пусть диагональ BD равна стороне (зелёные метки: AB = AD = BD). Треугольник ABD: AB = AD = BD → равносторонний → ∠BAD = 60°. Значит ∠BCD = 60°, а ∠ABC = ∠ADC = 180° − 60° = 120°.
б) Диагонали ромба делят его углы пополам: 60° : 2 = 30° и 120° : 2 = 60°.
Ответ: а) 60°, 120°, 60°, 120°; б) 30° и 60°.
Средний уровень

Задание 4 (№509)

Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.

Показать подробное решение
45° 135° A B C D
Шаг 1: Углы ромба: 45° и смежный с ним 180° − 45° = 135°.
Шаг 2: Диагонали делят углы пополам: 45° : 2 = 22,5° и 135° : 2 = 67,5°.
Ответ: 22,5° и 67,5°.
Средний уровень

Задание 5 (№504)

Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла A делит сторону: а) BC на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

Показать подробное решение
45° A B C D K

Идея: биссектриса прямого угла A образует со сторонами угол 45°, поэтому отсекаемый треугольник ABK — равнобедренный прямоугольный: BK = AB (зелёные метки).

а) Биссектриса пересекает BC в точке K. В треугольнике ABK: ∠BAK = 45°, ∠B = 90° → ∠AKB = 45° → BK = AB.
BC = 45,6 + 7,85 = 53,45 см.
Случай 1: BK = 45,6 → AB = 45,6 → P = 2 · (45,6 + 53,45) = 198,1 см.
Случай 2: BK = 7,85 → AB = 7,85 → P = 2 · (7,85 + 53,45) = 122,6 см.
б) Биссектриса пересекает DC в точке K. В треугольнике ADK: ∠DAK = 45°, ∠D = 90° → DK = AD.
DC = 2,7 + 4,5 = 7,2 дм.
Случай 1: AD = 2,7 → P = 2 · (2,7 + 7,2) = 19,8 дм.
Случай 2: AD = 4,5 → P = 2 · (4,5 + 7,2) = 23,4 дм.
Ответ: а) 198,1 см или 122,6 см; б) 19,8 дм или 23,4 дм.
Средний уровень

Задание 6 (№514)

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, катет AC = 12 см и квадрат CDEF такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина E — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

Показать подробное решение
45° A B C D E F
Шаг 1: Треугольник равнобедренный прямоугольный, значит ∠A = 45°.
Шаг 2: Сторона DE квадрата параллельна катету CB, поэтому DE ⊥ AC. В треугольнике ADE: ∠ADE = 90°, ∠A = 45° → ∠AED = 45° → AD = DE (стороне квадрата).
Шаг 3: Тогда AC = AD + DC = сторона + сторона = 2 · стороны = 12 см → сторона = 6 см.
Ответ: P = 4 · 6 = 24 см.
Продвинутый уровень

Задание 7 (№512)

Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

Показать подробное решение
а) нет: не делятся пополам б) нет: это ромб в) да: квадрат
а) Нет. Диагонали могут быть равны и перпендикулярны, но не делиться пополам — тогда четырёхугольник даже не параллелограмм (например, подходящий «воздушный змей»).
б) Нет. Общая середина → параллелограмм; перпендикулярные диагонали → ромб. Но ромб не обязан быть квадратом (углы могут быть не прямые).
в) Да. Общая середина → параллелограмм; равные диагонали → прямоугольник; перпендикулярные → ромб. Прямоугольник + ромб = квадрат! ✅
Дополнительная задача

Задание 8 (№532)

Диагональ AC квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная к прямой AC, пересекает прямые BC и CD соответственно в точках M и N. Найдите MN.

Показать подробное решение
A B C D M N
Шаг 1: Диагональ квадрата делит его углы пополам: ∠ACB = ∠ACD = 45°.
Шаг 2: В треугольнике ACM: ∠MAC = 90° (MN ⊥ AC, квадратик у точки A), ∠ACM = 45° → ∠AMC = 45°. Треугольник равнобедренный: AM = AC = 18,4 см.
Шаг 3: Аналогично в треугольнике ACN: AN = AC = 18,4 см.
Ответ: MN = AM + AN = 18,4 · 2 = 36,8 см.
Дополнительная задача

Задание 9 (№534)

В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, а ∠D = 60°.

Показать подробное решение
60° A B C D
Шаг 1: ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие при BC ∥ AD). По условию ∠BAC = ∠CAD (фиолетовые дуги) → ∠BAC = ∠BCA → треугольник ABC равнобедренный: BC = AB.
Шаг 2: В треугольнике ACD: ∠ACD = 90° (квадратик у C), ∠D = 60° → ∠CAD = 30°. Катет CD лежит против угла 30°, значит CD = AD : 2.
Шаг 3: ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 30° + 30° = 60° = ∠D → углы при основании AD равны → трапеция равнобедренная → AB = CD = AD : 2. Тогда и BC = AD : 2.
Шаг 4: Периметр: AD : 2 + AD : 2 + AD : 2 + AD = 2,5 · AD = 20 → AD = 8 см.
Ответ: AD = 8 см. Проверка: 4 + 4 + 4 + 8 = 20 ✅
Дополнительная задача

Задание 10 (№521)

Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, AB = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла A? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

Показать подробное решение
A B C D K
Шаг 1: AB + BC = 46 : 2 = 23 см → BC = 23 − 14 = 9 см.
Шаг 2: Биссектриса угла A отсекает равнобедренный треугольник со стороной, равной AB = 14 см. Но BC = 9 < 14, значит на стороне BC биссектриса «не помещается» — она пересекает сторону CD.
Шаг 3: Пусть K — точка на CD. ∠KAB = ∠KAD (биссектриса, фиолетовые дуги), ∠KAB = ∠DKA (накрест лежащие при DC ∥ AB) → ∠DAK = ∠DKA → DK = DA = 9 см (зелёные метки).
Шаг 4: KC = DC − DK = 14 − 9 = 5 см.
Ответ: биссектриса пересекает сторону CD; отрезки 9 см и 5 см.
Дополнительная задача

Задание 11 (№522)

Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Показать подробное решение
3 4 3 A B C D K K′
Шаг 1: Биссектриса угла A пересекает сторону DC в точке K: как всегда, треугольник ADK равнобедренный → DK = AD = 3 см.
Шаг 2: Биссектриса угла B пересекает DC в точке K': треугольник BCK' равнобедренный → CK' = BC = 3 см.
Шаг 3: Средний отрезок: KK' = DC − DK − K'C = 10 − 3 − 3 = 4 см.
Ответ: 3 см, 4 см, 3 см.
Дополнительная задача

Задание 12 (№539)

Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?

Показать подробное решение
l₁ l₂ O средняя линия — все её точки центры
Идея: симметрия относительно точки O должна перевести фигуру (пару прямых) в себя. Прямые параллельны и не совпадают, поэтому каждая прямая не может перейти в себя (центр лежал бы на обеих). Значит прямые меняются местами.
Это происходит для любой точки O, лежащей на «средней линии» — прямой, параллельной обеим и равноудалённой от них.
Ответ: бесконечно много (все точки средней линии).

⚖️ Задачи на доказательство (идеи)

№502, №503 — прямоугольник из углов
№502: ∠A = 90° → смежный с ним ∠B = 180° − 90° = 90° (углы при стороне параллелограмма); противоположные равны: ∠C = ∠A = 90°, ∠D = ∠B = 90°. Все углы прямые → прямоугольник.
№503: все углы прямые → суммы односторонних углов при секущих равны 180° → противоположные стороны параллельны → параллелограмм → по №502 прямоугольник.
№505, №510, №511, №513 — свойства и признаки
№505: AO = OC и BO = OD (половины диагоналей), а диагонали равны → AO = OD и AO = OB → треугольники AOD и AOB равнобедренные.
№510а: треугольники AOB и AOD: AO общая, BO = OD, углы при O прямые → равны → AB = AD → параллелограмм с равными смежными сторонами = ромб. б): диагональ делит угол пополам + накрест лежащие → равнобедренный треугольник → смежные стороны равны → ромб.
№511: в ромбе все стороны равны; прямой угол → все углы прямые (как в №502) → прямоугольник с равными сторонами = квадрат.
№513: в прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектриса CD прямого угла пересекает гипотенузу в точке D; через D проведены прямые, параллельные катетам, — они отсекают четырёхугольник CEDF. Это прямоугольник (стороны попарно параллельны, угол C прямой). Диагональ CD — биссектриса прямого угла, значит ∠ECD = 45°. В прямоугольном треугольнике CED: ∠CED = 90°, ∠ECD = 45° → ∠EDC = 45° → CE = ED. У прямоугольника смежные стороны равны → это квадрат. ✅
№518, №537, №538, №540 — симметрия
№518: прямая через середины противоположных сторон прямоугольника перпендикулярна им и проходит через центр; осевая симметрия относительно неё отображает прямоугольник на себя → это ось симметрии.
№537–538: диагонали ромба — оси симметрии (ромб отображается на себя при отражении); точка пересечения диагоналей параллелограмма переводит каждую вершину в противоположную → центр симметрии.
№540: отражение относительно первой оси, затем относительно второй (перпендикулярной) равно центральной симметрии относительно точки их пересечения → фигура отображается на себя.
№520, №527 — дополнительные доказательства
№520: допустим, тупых углов нет, то есть все углы ≤ 90°. Тогда их сумма ≤ 360°, причём равенство возможно только если все углы ровно по 90° — но тогда все они равны, противоречие с условием. Значит хотя бы один угол тупой. ✅
№527: через середину M стороны BC проведём прямую, параллельную BD; она пересечёт AC в середине E отрезка DC. В треугольнике AME: K — середина AM, KD ∥ ME → D — середина AE. Итого AD = DE = EC, то есть AC = 3 · AD.
Задачи на построение (№515–517, №519) — идеи
№515: а) строим прямой угол и откладываем две стороны; б) строим прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе (сторона и диагональ), достраиваем; в) строим равнобедренный треугольник из половин диагонали и угла между ними, удваиваем стороны.
№516: а) проводим два перпендикулярных отрезка, делящих друг друга пополам, соединяем концы; б) строим угол, откладываем равные стороны, достраиваем параллельными прямыми.
№517: а) как прямоугольник из двух равных сторон; б) проводим равные перпендикулярные отрезки с общей серединой, соединяем концы.
№519: находим середину O отрезка AB, проводим луч MO и откладываем OD = MO — точка D симметрична точке M относительно O.

🏗 Блок 3. Практическое применение

🎨 Продукт урока: «Логотип с центральной симметрией»

Ты дизайнер логотипа новой компании. Заказчик хочет логотип, который «выглядит одинаково, даже если перевернуть его вверх ногами»: параллелограмм с проведёнными диагоналями и окружность с центром в точке их пересечения.

Задача: докажи, что такой логотип действительно имеет центральную симметрию, и укажи его центр.

Показать решение дизайнера
O
Шаг 1: Параллелограмм симметричен относительно точки O пересечения диагоналей (это его центр симметрии).
Шаг 2: Окружность симметрична относительно своего центра — а по построению он совпадает с точкой O.
Шаг 3: Симметрия относительно O переводит параллелограмм в себя и окружность в себя → весь логотип переходит в себя. Значит O — центр симметрии логотипа. ✅
Бонус для размышления: осей симметрии у такого логотипа (в общем случае) нет — только центр. Переверни лист на 180° — и логотип не изменится! 🔄

📝 Главное, что нужно запомнить

💡 Методическая подсказка (для учителя или родителя)