📐 Параллелограмм и трапеция

Геометрия 8 класс • Глава VI, §2, пункты 48–50 • Свойства, признаки, средние линии

🧠 Блок 1. Изучение нового материала

🌍 Разминка: где вокруг параллелограммы?

Раскладная сушилка для белья, подъёмный кран-пантограф, механизм колёс тепловоза, раздвижные ворота — всё это параллелограммные механизмы! А форма трапеции — это кузов автомобиля, абажур лампы и дамская сумочка 😄 Сегодня разберёмся, почему эти фигуры так «любят» инженеры.

▱ Часть 1. Параллелограмм (пункт 48)

📖 Определение

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В параллелограмме ABCD: AB ∥ CD и AD ∥ BC. Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник.

Параллелограмм ABCD

A B C D AB ∥ CD, AD ∥ BC

Одинарные метки — одна пара противоположных сторон, двойные — другая.

🌟 Свойство 1: стороны и углы

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны:

AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D

💡 Следствие: сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠A + ∠B = 180°.

🌟 Свойство 2: диагонали

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

Диагонали делятся пополам

O A B C D AO = OC и BO = OD

🔑 Часть 2. Признаки параллелограмма (пункт 49)

Признак — это «примета», по которой мы можем доказать, что четырёхугольник является параллелограммом.

№Если... (условие)...то это параллелограмм
1Две стороны равны и параллельны✅ параллелограмм
2Противоположные стороны попарно равны✅ параллелограмм
3Диагонали пересекаются и делятся пополам✅ параллелограмм

💡 Запомни девиз: «равны и параллельны», «попарно равны», «пополам» — три ключа параллелограмма! 🔑

⏢ Часть 3. Трапеция (пункт 50)

📖 Определение

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — не параллельны (боковые стороны).

Виды трапеций

произвольная равнобедренная прямоугольная

Основания — параллельные стороны (отмечены синим). Боковые стороны — непараллельные.
Равнобедренная — боковые стороны равны (отмечены метками). Прямоугольная — с прямыми углами (отмечены квадратиками).

🌟 Свойства равнобедренной трапеции

а) Углы при каждом основании равны.
б) Диагонали равны.

Признаки: трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали равны.

📏 Средние линии

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме:

Средняя линия трапеции = (a + b) / 2

Средняя линия трапеции

M N a b MN = (a + b) / 2

🛠 Блок 2. Закрепление (задачи из учебника)

Сначала реши задачу в тетради, потом открой решение и проверь каждый шаг! ✍️

Базовый уровень

Задание 1 (№476)

Найдите углы параллелограмма ABCD, если: а) ∠A = 84°; б) ∠A − ∠B = 55°; в) ∠A + ∠C = 142°; г) ∠A = 2∠B; д) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°.

Показать подробное решение

Помним: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D и ∠A + ∠B = 180° (углы при одной стороне).

а) ∠A = ∠C = 84°; ∠B = ∠D = 180° − 84° = 96°.
б) Система: ∠A + ∠B = 180° и ∠A − ∠B = 55°. Складываем: 2∠A = 235° → ∠A = ∠C = 117,5°; ∠B = ∠D = 180° − 117,5° = 62,5°.
в) ∠A = ∠C, значит ∠A = ∠C = 142° : 2 = 71°. Тогда ∠B = ∠D = 180° − 71° = 109°.
г) ∠A + ∠B = 180°, ∠A = 2∠B → 3∠B = 180° → ∠B = ∠D = 60°, ∠A = ∠C = 120°.
д) В треугольнике ACD: ∠D = 180° − 16° − 37° = 127°. Значит ∠B = ∠D = 127°, а ∠A = ∠C = 180° − 127° = 53°.
Базовый уровень

Задание 2 (№472)

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите его стороны, если: а) одна сторона на 3 см больше другой; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна из сторон в 2 раза больше другой.

Показать подробное решение

Помним: противоположные стороны равны, поэтому P = 2(a + b), значит a + b = 48 : 2 = 24 см.

а) Пусть меньшая сторона x, тогда большая x + 3.
x + x + 3 = 24 → 2x = 21 → x = 10,5.
Ответ: 10,5 см и 13,5 см.
б) x + (x + 7) = 24 → 2x = 17 → x = 8,5.
Ответ: 8,5 см и 15,5 см.
в) x + 2x = 24 → 3x = 24 → x = 8.
Ответ: 8 см и 16 см.
Средний уровень

Задание 3 (№474)

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 15 см, KC = 9 см.

Показать подробное решение
Шаг 1: AK — биссектриса, значит ∠BAK = ∠KAD.
Шаг 2: ∠KAD = ∠BKA как накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AK.
Шаг 3: Получаем ∠BAK = ∠BKA, значит треугольник ABK — равнобедренный, и AB = BK = 15 см.
Шаг 4: BC = BK + KC = 15 + 9 = 24 см.
Шаг 5: P = 2 · (15 + 24) = 78 см.
💡 Биссектриса параллелограмма всегда отсекает равнобедренный треугольник — запомни этот факт!
Средний уровень

Задание 4 (№475)

Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону на отрезки 7 см и 14 см.

Показать подробное решение
Идея: как в №474, биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, поэтому боковая сторона равна отрезку, прилежащему к вершине угла.
Случай 1: прилежащий отрезок 7 см → сторона 7 см, другая сторона 7 + 14 = 21 см.
P = 2 · (7 + 21) = 56 см.
Случай 2: прилежащий отрезок 14 см → сторона 14 см, другая 21 см.
P = 2 · (14 + 21) = 70 см.
Ответ: 56 см или 70 см (два возможных параллелограмма).
Средний уровень

Задание 5 (№477)

В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

Показать подробное решение
Шаг 1: MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8 см. Значит NP = MQ = 8 см.
Шаг 2: В прямоугольном треугольнике MNH угол ∠MNH = 30°, катет MH лежит против этого угла. Катет против угла 30° равен половине гипотенузы: MN = 2 · MH = 6 см. Значит PQ = MN = 6 см.
Шаг 3: ∠M = 90° − 30° = 60°. Тогда ∠P = ∠M = 60°, а ∠N = ∠Q = 180° − 60° = 120°.
Ответ: стороны 6 см и 8 см; углы 60° и 120°.
Средний уровень

Задание 6 (№473)

Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр BH к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Показать подробное решение
Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC: угол ∠C = 30°, катет BH = 6,5 см лежит против этого угла.
Шаг 2: Катет против угла 30° — половина гипотенузы, значит BC = 2 · 6,5 = 13 см.
Шаг 3: AB + BC = 50 : 2 = 25 см, откуда AB = 25 − 13 = 12 см.
Ответ: 12 см и 13 см.
Продвинутый уровень

Задание 7 (№490)

Найдите углы трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если ∠A = 36°, ∠C = 117°.

Показать подробное решение
Идея: основания AD ∥ BC, поэтому углы при каждой боковой стороне в сумме дают 180° (как внутренние односторонние).
∠A + ∠B = 180° → ∠B = 180° − 36° = 144°.
∠C + ∠D = 180° → ∠D = 180° − 117° = 63°.
Ответ: 36°, 144°, 117°, 63°.
Продвинутый уровень

Задание 8 (№493)

Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.

Показать подробное решение
Шаг 1: В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, значит второй угол при том же основании тоже 68°.
Шаг 2: Углы при боковой стороне в сумме 180°: 180° − 68° = 112° — углы при другом основании (оба по 112°).
Ответ: 68°, 68°, 112°, 112°.
Продвинутый уровень

Задание 9 (№495) — ИСПРАВЛЕНО

Основания прямоугольной трапеции равны a и b, один из углов прямой. Найдите: а) большую боковую сторону, если a = 4 см, b = 7 см, α = 60°; б) меньшую боковую сторону, если a = 10 см, b = 15 см, α = 45°.

Показать подробное решение

Идея: проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Она отрежет прямоугольный треугольник, у которого горизонтальный катет равен разности оснований (b − a). Боковые стороны трапеции — это высота и наклонная сторона (гипотенуза этого треугольника).

а) Разность оснований: 7 − 4 = 3 см. В прямоугольном треугольнике угол при основании 60°, значит второй острый угол: 180° − 90° − 60° = 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Против угла 30° лежит как раз горизонтальный катет 3 см. Значит гипотенуза (наклонная боковая сторона трапеции) = 2 · 3 = 6 см. Вторая боковая сторона (высота) меньше гипотенузы, поэтому большая боковая сторона трапеции — наклонная, равная 6 см.
б) Разность оснований: 15 − 10 = 5 см. В прямоугольном треугольнике угол при основании 45°, значит второй острый угол тоже 45° — треугольник равнобедренный. Его катеты равны: высота = 5 см. Наклонная сторона трапеции — гипотенуза этого треугольника, значит она больше 5 см. Поэтому меньшая боковая сторона трапеции — высота, равная 5 см.
Ответ: а) 6 см; б) 5 см.
Продвинутый уровень

Задание 10 (№487)

Диагональ равнобедренной трапеции равна a. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон трапеции.

Показать подробное решение
Шаг 1: Каждая сторона «срединного» четырёхугольника — средняя линия треугольника, образованного двумя сторонами трапеции и её диагональю. Значит каждая сторона равна половине диагонали: a/2.
Шаг 2: У равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому все четыре стороны серединного четырёхугольника равны a/2 (это ромб!).
Ответ: P = 4 · a/2 = 2a.
Продвинутый уровень

Задание 11 (№497)

Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Показать подробное решение
Идея: четвёртую вершину D можно выбрать тремя способами — напротив каждой из данных точек: через каждую точку провести прямую, параллельную противоположному отрезку.
Получаем три варианта расположения четвёртой вершины.
Ответ: 3 параллелограмма.

⚖️ Задачи на доказательство (идеи)

№471 — доказать, что ABCD — параллелограмм
а) ∠BAC = ∠ACD — накрест лежащие при прямых AB, CD и секущей AC → AB ∥ CD. ∠BCA = ∠DAC — накрест лежащие при BC, AD и секущей AC → BC ∥ AD. Обе пары сторон параллельны → по определению это параллелограмм.
б) AB ∥ CD → ∠A + ∠D = 180°. Так как ∠A = ∠C, то ∠C + ∠D = 180° → AD ∥ BC (односторонние углы при секущей CD). Значит ABCD — параллелограмм.
№478 — параллелограмм выпуклый
Возьмём прямую AB. Отрезок CD не имеет с ней общих точек (AB ∥ CD), значит лежит по одну сторону от неё; тогда и стороны BC, AD лежат по ту же сторону. То же для любой другой стороны → параллелограмм лежит по одну сторону от прямой через любые две соседние вершины, то есть он выпуклый. ✅
№484 и №489 — средние линии
№484 (треугольник): через середину одной стороны проводим прямую, параллельную второй стороне — она проходит через середину третьей стороны. Далее строим параллелограмм и получаем: средняя линия параллельна стороне и равна её половине.
№489 (трапеция): соединяем середины боковых сторон; через диагональ трапеция делится на два треугольника, и средняя линия складывается из двух средних линий треугольников: (a/2 + b/2) = (a + b)/2, параллельна основаниям. ✅
№491 и №492 — равнобедренная трапеция
№491: а) проводим боковую сторону, параллельную другой, — получаем параллелограмм и равнобедренный треугольник → углы при основании равны; б) равные углы дают равные треугольники, образованные диагоналями → диагонали равны.
№492: обратные рассуждения: равные углы при основании → равные треугольники → боковые стороны равны; равные диагонали → аналогично. ✅
Задачи на построение (№496, №499–501) — идеи
№496а: строим угол, откладываем на его сторонах две данные стороны, затем через их концы проводим прямые, параллельные противоположным сторонам.
№496б: диагонали делятся пополам → строим угол между диагоналями и откладываем их половины от вершины.
№496в: сначала строим треугольник по трём сторонам (две стороны + диагональ), затем достраиваем до параллелограмма.
№499: по теореме Фалеса (№488): откладываем на луче n равных отрезков и проводим параллельные прямые — они делят AB на n равных частей.
№500–501: строим основание, затем угол/боковую сторону или диагональ (через треугольник), достраиваем трапецию.

🏗 Блок 3. Практическое применение

🚂 Продукт урока: «Инженер параллелограммного механизма»

Посмотри на сцепление колёс тепловоза (задача №481 из учебника!): стержень AB соединяет два колеса, радиусы O₁A и O₂B равны, а длина стержня AB равна расстоянию между центрами O₁O₂.

Задача: объясни, почему стержень AB всегда движется параллельно линии центров O₁O₂ (иначе колёса «застрянут»!).

Показать решение инженера
Шаг 1: В четырёхугольнике O₁ABO₂ противоположные стороны попарно равны: O₁A = O₂B (радиусы колёс) и AB = O₁O₂ (по условию).
Шаг 2: По признаку 2 параллелограмма (противоположные стороны попарно равны) O₁ABO₂ — параллелограмм.
Шаг 3: Значит AB ∥ O₁O₂ всегда — либо отрезки лежат на одной прямой. Механизм работает без заклинивания! 🚂✅
Итог: параллелограммный механизм используется в поездах, дворниках автомобилей и подъёмных кранах именно благодаря этому свойству!

📝 Главное, что нужно запомнить

💡 Методическая подсказка (для учителя или родителя)