📐 Многоугольники и четырёхугольники

Геометрия 8 класс • Глава VI, §1, пункты 46–47 • Выпуклые многоугольники, сумма углов, четырёхугольник

🧠 Блок 1. Изучение нового материала

🌍 Разминка: зачем нам это нужно?

Посмотри вокруг: пчелиные соты — это шестиугольники, дорожный знак «Стоп» — восьмиугольник, оконная рама и экран телефона — четырёхугольники. Чтобы строить дома, укладывать плитку и создавать дизайн, нужно точно знать, чему равны углы фигур и сколько у них диагоналей. Сегодня мы выведем формулы, которые работают для любого многоугольника! 🐝🏗️

📖 Ключевые термины

Термин	Определение
Многоугольник	Фигура, состоящая из отрезков, где соседние отрезки не лежат на одной прямой. Вершины, принадлежащие одной стороне, — соседние.
Диагональ	Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.
Выпуклый многоугольник	Многоугольник, лежащий по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. У него нет «вмятин».
Внешний угол	Угол, смежный с внутренним углом многоугольника (образуется при продолжении стороны).
Четырёхугольник	Многоугольник с четырьмя вершинами, четырьмя сторонами и двумя диагоналями.
Противоположные вершины	Вершины, не являющиеся соседними (у четырёхугольника ABCD: A и C, B и D).
Противоположные стороны	Несмежные стороны (у ABCD: AB и CD, BC и AD).

👁️ Выпуклый или невыпуклый?

В выпуклом многоугольнике все диагонали проходят внутри фигуры. В невыпуклом — хотя бы одна диагональ выходит наружу.

🌟 Правило 1: Сумма внутренних углов

Проведём из одной вершины выпуклого n-угольника все диагонали. Они разобьют фигуру на треугольники, а сумма углов каждого треугольника равна 180°. Треугольников получается ровно (n − 2)!

Сумма внутренних углов = (n − 2) · 180°

🔺 Откуда берётся (n − 2)? Смотрим на рисунок!

➕ Считаем сумму углов шестиугольника

💡 Правило 2: Внешние углы

Если при каждой вершине выпуклого многоугольника взять по одному внешнему углу, то их сумма всегда равна 360° — она не зависит от числа сторон! 🤯

Сумма внешних углов = 360°

📏 Правило 3: Количество диагоналей

Из каждой вершины можно провести (n − 3) диагонали (нельзя провести к себе и к двум соседям). Всего вершин n, значит «насчитаем» n·(n − 3), но каждая диагональ при этом учтена дважды (с обоих концов). Поэтому делим на 2:

Количество диагоналей = n(n − 3) / 2

⬛ Часть 2. Четырёхугольник

Четырёхугольник — самый «популярный» многоугольник в жизни: двери, окна, листы бумаги, участки земли. У него 4 вершины, 4 стороны и 2 диагонали.

Элементы четырёхугольника ABCD

Стороны: AB, BC, CD, AD • Диагонали: AC и BD (соединяют противоположные вершины)

Выпуклый и невыпуклый четырёхугольники

🌟 Главное свойство четырёхугольника

Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника. Значит, сумма углов четырёхугольника равна двум суммам углов треугольника:

Сумма углов четырёхугольника = 2 · 180° = 360°

Диагональ делит четырёхугольник на два треугольника

🛠 Блок 2. Закрепление (задачи из учебника)

Сначала реши задачу самостоятельно в тетради, а потом открой решение и проверь каждый шаг! ✍️

Базовый уровень

Задание 1 (№462)

Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. Из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?

Показать подробное решение

Пятиугольник: из одной вершины можно провести 2 диагонали (к двум несоседним вершинам). Они разбивают пятиугольник на 3 треугольника.

Шестиугольник: из одной вершины можно провести 3 диагонали. Они разбивают шестиугольник на 4 треугольника.

Вывод: диагонали из одной вершины делят n-угольник на (n − 2) треугольника. Именно поэтому сумма углов равна (n − 2) · 180°!

Базовый уровень

Задание 2 (№463)

Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) десятиугольника.

Показать подробное решение

Формула: S = (n − 2) · 180°

а) n = 5: S = (5 − 2) · 180° = 3 · 180° = 540°

б) n = 6: S = (6 − 2) · 180° = 4 · 180° = 720°

в) n = 10: S = (10 − 2) · 180° = 8 · 180° = 1440°

Базовый уровень

Задание 3 (№464)

Найдите количество диагоналей: а) выпуклого пятиугольника; б) выпуклого двенадцатиугольника; в) выпуклого двадцатипятиугольника.

Показать подробное решение

Формула: N = n(n − 3) / 2

а) n = 5: N = 5 · (5 − 3) / 2 = 5 · 2 / 2 = 5

б) n = 12: N = 12 · (12 − 3) / 2 = 12 · 9 / 2 = 108 / 2 = 54

в) n = 25: N = 25 · (25 − 3) / 2 = 25 · 22 / 2 = 550 / 2 = 275

Средний уровень

Задание 4 (№465)

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?

Показать подробное решение

Идея: если все n углов равны, то каждый угол равен (n − 2) · 180° / n. Составляем уравнение.

а) 90°: (n − 2) · 180 = 90n → 180n − 360 = 90n → 90n = 360 → n = 4 (прямоугольник или квадрат).

б) 60°: 180n − 360 = 60n → 120n = 360 → n = 3 (равносторонний треугольник).

в) 120°: 180n − 360 = 120n → 60n = 360 → n = 6 (правильный шестиугольник, как соты!).

г) 108°: 180n − 360 = 108n → 72n = 360 → n = 5 (правильный пятиугольник).

Средний уровень

Задание 5 (№466)

Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.

Показать подробное решение

Шаг 1: Приводим к одной единице измерения.
8 см = 80 мм.

Шаг 2: Обозначаем. Пусть наибольшая сторона равна x мм. Тогда три другие меньше её на 3, 4 и 5 мм:
x − 3, x − 4, x − 5.

Шаг 3: Уравнение периметра.
x + (x − 3) + (x − 4) + (x − 5) = 80
4x − 12 = 80
4x = 92
x = 23 (мм).

Шаг 4: Находим все стороны.
23 мм; 23 − 3 = 20 мм; 23 − 4 = 19 мм; 23 − 5 = 18 мм.

Ответ: 2,3 см; 2 см; 1,9 см; 1,8 см.
Проверка: 23 + 20 + 19 + 18 = 80 мм = 8 см ✅

Средний уровень

Задание 6 (№467)

Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая в 3 раза больше второй.

Показать подробное решение

Шаг 1: Обозначаем. Пусть вторая сторона = x см.
Первая = x + 8 (больше второй на 8).
Третья = (x + 8) + 8 = x + 16 (первая на 8 меньше третьей).
Четвёртая = 3x (в 3 раза больше второй).

Шаг 2: Уравнение периметра.
(x + 8) + x + (x + 16) + 3x = 66
6x + 24 = 66
6x = 42
x = 7 (см).

Шаг 3: Находим стороны.
Вторая: 7 см; первая: 7 + 8 = 15 см; третья: 7 + 16 = 23 см; четвёртая: 3 · 7 = 21 см.

Ответ: 15 см; 7 см; 23 см; 21 см.
Проверка: 15 + 7 + 23 + 21 = 66 см ✅

Продвинутый уровень

Задание 7 (№468)

Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.

Показать подробное решение

Шаг 1: Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

Шаг 2: Все 4 угла равны, значит каждый равен 360° : 4 = 90°.

Ответ: все углы по 90° (это прямоугольник или квадрат).

Продвинутый уровень

Задание 8 (№469)

Найдите углы A, B и C выпуклого четырёхугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, а ∠D = 135°.

Показать подробное решение

Шаг 1: ∠A + ∠B + C + ∠D = 360°. Обозначим равные углы за x.

Шаг 2: x + x + x + 135° = 360° → 3x = 360° − 135° = 225° → x = 75°.

Ответ: ∠A = ∠B = ∠C = 75°.
Проверка: 75° · 3 + 135° = 225° + 135° = 360° ✅

Продвинутый уровень

Задание 9 (№470)

Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Показать подробное решение

Шаг 1: Сумма углов = 360°. Всего частей: 1 + 2 + 4 + 5 = 12.

Шаг 2: На одну часть приходится: 360° : 12 = 30°.

Шаг 3: Углы равны:
1 · 30° = 30°; 2 · 30° = 60°; 4 · 30° = 120°; 5 · 30° = 150°.

Проверка: 30° + 60° + 120° + 150° = 360° ✅

🏗 Блок 3. Практическое применение

🎯 Продукт урока: «Архитектор тротуарной плитки»

Ты проектируешь коллекцию плитки. Плитка первой формы — правильный восьмиугольник (как знак «Стоп»), плитка второй формы — квадрат, которым заполняют промежутки между восьмиугольниками.

Задача: вычисли внутренний угол восьмиугольной плитки и проверь, что в точке стыка двух восьмиугольников и одного квадрата углы в сумме дают ровно 360° (тогда покрытие ляжет без щелей!).

Показать расчёт архитектора

1. Угол восьмиугольника: сумма углов = (8 − 2) · 180° = 6 · 180° = 1080°. Каждый угол = 1080° : 8 = 135°.

2. Угол квадрата: 90°.

3. Проверка стыка: 135° + 135° + 90° = 360° ✅ — покрытие собирается идеально, без щелей и нахлёстов!

Итог: именно поэтому такая комбинация плиток встречается в городах по всему миру! 🪨✨

📝 Главное, что нужно запомнить

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника: (n − 2) · 180°.
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника: 360° (не зависит от n).
Количество диагоналей n-угольника: n(n − 3) / 2.
У четырёхугольника 4 вершины, 4 стороны и 2 диагонали; сумма его углов равна 360°.
Диагональ делит выпуклый четырёхугольник на два треугольника — этим удобно пользоваться в задачах.
В задачах на периметр сначала приводим все величины к одной единице измерения!

💡 Методическая подсказка (для учителя или родителя)

Формула (n − 2): если ученик забывает вычесть двойку, попросите его начертить четырёхугольник и провести одну диагональ — он увидит 2 треугольника. Формула перестаёт быть «магией» и становится картинкой.
Задачи на периметр (№466, №467): главная ловушка — разные единицы измерения и выбор «за x». В №466 удобно обозначать за x наибольшую сторону: тогда остальные записываются вычитанием и ученик не путается в «больше/меньше».
Уравнения с углами (№465): для сильных учеников покажите оба пути: подбор (подставлять n = 3, 4, 5…) и уравнение. Подбор даёт интуицию, уравнение — скорость.
Пропорции (№470): метод «частей» — самая наглядная опора: 12 частей = 360°, значит 1 часть = 30°. Слабым ученикам стоит нарисовать 12 клеточек и закрасить группы 1-2-4-5.
Чертёж — обязательный шаг: в любой задаче про четырёхугольник сначала рисуем фигуру и подписываем известные данные. Это снижает количество ошибок вдвое.