Привет! 👋 Сегодня ты познакомишься с тремя «замечательными» отрезками треугольника — медианой, биссектрисой и высотой. Узнаешь, что такое перпендикуляр к прямой, какие треугольники называются равнобедренными и равносторонними, и докажешь два важных свойства равнобедренного треугольника. Это ключ к многим задачам! 🔑
🌾 Блок 1. Изучение (15–20 мин)
🪝 Разминка: Где в жизни встречаются перпендикуляры?
Когда строитель проверяет, ровно ли стоит стена, он использует отвес — грузик на нитке. Нитка всегда перпендикулярна земле! А когда ты измеряешь рост, рулетка тоже должна быть перпендикулярна полу — иначе измерение будет неверным. В геометрии перпендикуляр — это кратчайший путь от точки до прямой. 📏
📖 Ключевые термины
Термин
Что это?
Как обозначаем
Перпендикуляр
Отрезок, проведённый из точки к прямой под прямым углом.
AH ⊥ a (H — основание перпендикуляра)
Медиана треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
AM₁, где M₁ — середина BC
Биссектриса треугольника
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
CC₁, где C₁ на стороне AB
Высота треугольника
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
AH₁, где H₁ на прямой BC
Равнобедренный треугольник
Треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны — боковые, третья — основание.
△ABC: AB = AC (BC — основание)
Равносторонний треугольник
Треугольник, у которого все три стороны равны.
AB = BC = CA
📐 Графические иллюстрации
Перпендикуляр из точки к прямой
Рис. 1: Перпендикуляр AH проведён из точки A к прямой a под прямым углом; точка H — основание перпендикуляра
Три замечательных отрезка треугольника
Рис. 2: Три замечательных отрезка △ABC: красная — медиана AM₁, синяя — биссектриса BB₁, зелёная — высота CH
Равнобедренный треугольник
Рис. 3: Равнобедренный △ABC: AB = AC — боковые стороны (отмечены двойными засечками), BC — основание
Свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равны
Рис. 4: В равнобедренном △ABC углы при основании BC равны: ∠B = ∠C (доказывается через равенство △ABD и △ACD по биссектрисе AD)
Равносторонний треугольник
Рис. 5: Равносторонний △ABC: все три стороны равны (отмечены тройными засечками); все углы тоже равны — по 60°
📐 Главные правила
🌟 Правило 1: Перпендикуляр к прямой
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. Что это значит? Кратчайший путь от точки до прямой — это перпендикуляр. Другого такого же короткого пути нет.
🌟 Правило 2: Три замечательных отрезка
В любом треугольнике можно провести:
• медиану — от вершины к середине противоположной стороны;
• биссектрису — от вершины к противоположной стороне, делящую угол пополам;
• высоту — перпендикуляр из вершины на противоположную сторону (или её продолжение).
Каждого такого отрезка в треугольнике ровно три (по одному из каждой вершины).
🌟 Правило 3: Равнобедренный треугольник
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны — боковые, третья — основание.
Если все три стороны равны — треугольник равносторонний (это частный случай равнобедренного).
🌟 Правило 4: Свойство углов равнобедренного треугольника (ТЕОРЕМА)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠B = ∠C (рис. 4). Доказательство: проведём биссектрису AD из вершины A к основанию BC. △ABD = △ACD по первому признаку (AB = AC, ∠1 = ∠2, AD общая) → ∠B = ∠C.
🌟 Правило 5: Биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника (ТЕОРЕМА)
В равнобедренном треугольнике отрезок, проведённый из вершины к основанию (биссектриса), является одновременно медианой и высотой. Что это значит? Все три «замечательных» отрезка из вершины к основанию совпадают в один! Отсюда же: основание делится пополам, и угол при вершине делится пополам, и этот отрезок перпендикулярен основанию.
⚠️ Важно запомнить:
• Медиана делит сторону пополам; биссектриса делит угол пополам; высота образует прямой угол с противоположной стороной
• Все три медианы, все три биссектрисы и все три высоты треугольника пересекаются в одной точке (докажем позже)
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны — но не любые два угла!
• Равносторонний треугольник — это равнобедренный, у которого все стороны равны; все его углы по 60°
• Если в треугольнике медиана совпадает с высотой — треугольник равнобедренный (признак!)
🛠 Блок 2. Закрепление (20–25 мин)
Задания из учебника (стр. 34–39). Решай в тетради с линейкой, угольником и транспортиром. После выполнения открой подсказку и проверь себя!
№112 Базовый уровень
Задание: В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Пусть основание BC = x см, тогда боковая сторона AB = AC = 2x см (в 2 раза больше).
Шаг 2: Периметр: P = AB + AC + BC = 2x + 2x + x = 5x.
Шаг 3: По условию P = 50 см, значит 5x = 50 → x = 10.
Шаг 4: Стороны: BC = 10 см, AB = AC = 2·10 = 20 см.
Ответ:10 см, 20 см, 20 см.
Проверка: 10 + 20 + 20 = 50 ✓; основание 10 — в 2 раза меньше боковой 20 ✓
№113 Базовый уровень
Задание: Периметр равнобедренного треугольника ABC с основанием BC равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны AB и BC.
💡 Проверить решение
Шаг 1: △BCD — равносторонний, значит BC = CD = BD. Периметр = 3·BC = 45 → BC = 15 см.
Шаг 2: △ABC — равнобедренный с основанием BC, значит AB = AC (боковые стороны).
Шаг 3: Периметр △ABC: AB + AC + BC = 2·AB + 15 = 40 → 2·AB = 25 → AB = 12,5 см.
Ответ:AB = 12,5 см, BC = 15 см (и AC = 12,5 см).
Проверка: 12,5 + 12,5 + 15 = 40 ✓; 15·3 = 45 ✓
№117 Базовый уровень
Задание: На рисунке 73 (а) AB = BC, ∠1 = 130°. Найдите ∠2.
💡 Проверить решение
Шаг 1: △ABC равнобедренный с AB = BC, значит основание — AC, углы при основании: ∠A = ∠C.
Шаг 2: ∠1 — внешний угол при вершине B (смежный с внутренним ∠B). Значит ∠B = 180° − 130° = 50°.
Задание: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABM равен 24 см.
💡 Проверить решение
Шаг 1: △ABC равнобедренный с основанием BC: AB = AC. Обозначим AB = AC = a, BC = b.
Шаг 2: P(ABC) = 2a + b = 32.
Шаг 3: AM — медиана к основанию BC, значит M — середина BC: BM = MC = b/2.
Шаг 4: В равнобедренном треугольнике медиана к основанию — она же высота (правило 5), но для решения это не нужно. P(ABM) = AB + BM + AM = a + b/2 + AM = 24.
Шаг 5: Выразим a + b/2 из P(ABC): 2a + b = 32 → a + b/2 = 16.
Шаг 6: Подставим: 16 + AM = 24 → AM = 8 см.
Ответ:AM = 8 см.
Проверка: a + b/2 = 16, AM = 8 → P(ABM) = 16 + 8 = 24 ✓; 2a + b = 32 ✓
№116 Средний уровень
Задание: На рисунке 72 CD = BD, ∠1 = ∠2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Рассмотрим △ADC и △ADB: AD — общая сторона, CD = BD (по условию), ∠1 = ∠2 (по условию).
Шаг 2: По двум сторонам и углу между ними (первый признак): △ADC = △ADB.
Шаг 3: Из равенства треугольников следует: AC = AB (соответственные стороны).
Шаг 4: В △ABC две стороны равны: AB = AC → △ABC равнобедренный с основанием BC.
Ответ: △ABC равнобедренный (доказано).
Проверка: все три шага используют только первый признак равенства и определение равнобедренного треугольника ✓
№123 Средний уровень
Задание: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Докажите, что:
а) △ABM = △ACN;
б) △AMN равнобедренный.
💡 Проверить решение
а) Равенство △ABM и △ACN:
△ABC равнобедренный с основанием BC: AB = AC и ∠B = ∠C (углы при основании равны — свойство 4).
В △ABM и △ACN: AB = AC, ∠B = ∠C, BM = CN (по условию).
По двум сторонам и углу между ними: △ABM = △ACN.
б) △AMN равнобедренный:
Из равенства △ABM = △ACN следует: AM = AN (соответственные стороны).
В △AMN две стороны равны: AM = AN → △AMN равнобедренный с основанием MN.
Ответ: △ABM = △ACN и △AMN равнобедренный (доказано).
Проверка: ключевая цепочка: свойство равнобедренного △ → первый признак → равенство боковых → новый равнобедренный △ ✓
№115 Продвинутый уровень
Задание: Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Пусть в △ABC медиана AM является высотой. Тогда M — середина BC (BM = MC) и AM ⊥ BC (∠AMB = ∠AMC = 90°).
Шаг 2: Рассмотрим △ABM и △ACM: AM — общая сторона, BM = MC, ∠AMB = ∠AMC = 90°.
Шаг 3: По двум сторонам и углу между ними: △ABM = △ACM.
Шаг 4: Из равенства треугольников: AB = AC → △ABC равнобедренный с основанием BC.
Ответ: △ABC равнобедренный (доказано).
Вывод: это признак равнобедренного треугольника — обратный к свойству из правила 5.
№120 Продвинутый уровень
Задание: Медиана AM треугольника ABC равна отрезку BM. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.
💡 Проверить решение
Шаг 1: M — середина BC, значит BM = MC. По условию AM = BM, следовательно AM = MC тоже.
Шаг 2: △ABM: AM = BM → равнобедренный с основанием AB → ∠BAM = ∠ABM (углы при основании).
Шаг 3: △AMC: AM = MC → равнобедренный с основанием AC → ∠MAC = ∠MCA (углы при основании).
Проверка: 8·2 = 16 = DK ✓; 43°·2 = 86° ✓; прямой угол — высота ✓
💡 Методическая подсказка
Если путаешь три отрезка: медиана — «к середине», биссектриса — «пополам угол», высота — «перпендикуляр». Запомни по первым буквам: Медиана → М середина; Биссектриса → Б олко (пополам); В ысота → В ертикаль (перпендикуляр).
Главный приём в задачах: если видишь равнобедренный треугольник — сразу отмечай равные стороны и равные углы при основании. Это даёт готовые пары для первого признака!
Для доказательства: часто нужно провести вспомогательный отрезок (биссектрису, медиану) и рассмотреть два получившихся треугольника — они оказываются равными.
Ловушка: в равнобедренном треугольнике равны углы при основании, а не любые два! Угол при вершине (между боковыми сторонами) может быть другим.
Красивая связь: в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают — это один и тот же отрезок!