🔺 Второй и третий признаки равенства треугольников
Геометрия 7 класс • Глава II, §3 • Страницы 39–44
Привет! 👋 Сегодня ты познакомишься с ещё двумя признаками равенства треугольников. Если первый признак работает по «двум сторонам и углу между ними», то второй — по «стороне и двум прилежащим углам», а третий — по «трём сторонам». Ты узнаешь, почему треугольник — самая «жёсткая» фигура, и научишься выбирать нужный признак для каждой задачи! 🔍
🌾 Блок 1. Изучение (15–20 мин)
🪝 Разминка: Почему мосты не складываются?
Посмотри на металлические фермы мостов и кранов — они собраны из треугольников! Почему инженеры выбирают именно треугольники, а не четырёхугольники? Дело в том, что если взять три рейки и скрепить их концы гвоздями — получится жёсткая фигура, которую невозможно деформировать без слома. А вот четыре рейки легко складываются в ромб. Это свойство треугольника — жёсткость — и есть следствие третьего признака равенства! 🏗️
📖 Ключевые термины
Термин
Что это?
Как обозначаем
Второй признак равенства
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого — треугольники равны.
по стороне и двум прилежащим углам (СПУ)
Третий признак равенства
Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого — треугольники равны.
по трём сторонам (ССС)
Жёсткость треугольника
Свойство треугольника: если заданы три стороны, форму треугольника изменить нельзя (в отличие от четырёхугольника).
—
Теорема
Утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений (доказательства).
Стороны и углы, которые совмещаются при наложении равных фигур.
в △ABC = △A₁B₁C₁: AB↔A₁B₁, ∠A↔∠A₁ и т. д.
📐 Графические иллюстрации
Второй признак: сторона и два прилежащих угла
Рис. 1: Второй признак: если известны сторона BC и углы при ней (∠B и ∠C) — треугольник построен однозначно
Третий признак: три стороны
Рис. 2: Третий признак: если заданы три стороны — треугольник полностью определён (не может «сложиться»)
Жёсткость треугольника vs нежёсткость четырёхугольника
Рис. 3: Треугольник с заданными сторонами — жёсткая фигура; четырёхугольник с теми же «рейками» можно деформировать
К доказательству второго признака: наложение △ABC на △A₁B₁C₁
Рис. 4: Идея доказательства второго признака: при наложении сторона BC совмещается с B₁C₁, а из равенства углов следует, что лучи BA и CA попадают на лучи B₁A₁ и C₁A₁ — значит, A совпадает с A₁
К доказательству третьего признака: вспомогательный треугольник
Рис. 5: Идея доказательства третьего признака: прикладываем △A₁B₁C₁ к △ABC так, чтобы равные стороны совпали; достраиваем до равнобедренных △ и используем свойство углов при основании
📐 Главные правила
🌟 Правило 1: Второй признак равенства треугольников (ТЕОРЕМА)
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого — такие треугольники равны. Кратко: по стороне и двум прилежащим углам (СПУ). Почему работает? При наложении сторона совмещается, а из равенства углов следует, что лучи двух других сторон попадают на соответствующие лучи — значит, третьи вершины совпадают.
🌟 Правило 2: Третий признак равенства треугольников (ТЕОРЕМА)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого — такие треугольники равны. Кратко: по трём сторонам (ССС). Почему работает? Доказательство использует вспомогательное построение и свойство углов при основании равнобедренного треугольника (рис. 5).
🌟 Правило 3: Жёсткость треугольника
Треугольник с заданными тремя сторонами — жёсткая фигура: его нельзя деформировать без изменения длин сторон. Применение: это свойство используют в строительстве (фермы мостов, краны, опоры линий электропередач) — рис. 3.
🌟 Правило 4: Три признака — три инструмента
Чтобы доказать равенство двух треугольников, можно использовать:
• Первый признак (ДСУ): две стороны и угол МЕЖДУ ними;
• Второй признак (СПУ): сторона и два угла ПРИ НЕЙ;
• Третий признак (ССС): три стороны.
🌟 Правило 5: Как выбрать признак
Внимательно читай условие и отмечай на чертеже известные равные элементы:
• Видишь две равные стороны и угол между ними? → первый признак.
• Видишь равную сторону и два равных угла при ней? → второй признак.
• Видишь три пары равных сторон? → третий признак.
Иногда нужно сначала доказать равенство каких-то элементов через другие свойства (вертикальные углы, биссектриса, медиана и т. д.).
⚠️ Важно запомнить:
• Во втором признаке углы должны быть ПРИЛЕЖАЩИМИ к данной стороне, а не «где-то в треугольнике»!
• В третьем признаке важны именно ТРИ стороны — двух сторон недостаточно (может получиться «складывающийся» четырёхугольник)
• Жёсткость треугольника — это следствие третьего признака
• В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и наоборот — это помогает находить новые равные элементы
• Часто в одной задаче приходится применять два признака последовательно
🛠 Блок 2. Закрепление (20–25 мин)
Задания из учебника (стр. 39–44). Решай в тетради с линейкой и угольником. После выполнения открой подсказку и проверь себя!
№126 Базовый уровень
Задание: Отрезки AB и CD пересекаются в середине O отрезка AB. ∠OAD = ∠OBC. Докажите, что △BCO = △ADO; найдите BC и CO, если CD = 26 см, AD = 15 см.
💡 Проверить решение
Шаг 1: O — середина AB, значит AO = OB (первая пара равных сторон).
Шаг 2: ∠OAD = ∠OBC (по условию) — вторая пара равных элементов.
Шаг 4: В △AOD и △BOC: сторона AO = OB, прилежащие к ней углы ∠OAD = ∠OBC и ∠AOD = ∠BOC. По второму признаку △AOD = △BOC.
Шаг 5: Из равенства треугольников: BC = AD = 15 см; OD = OC.
Шаг 6: Так как OD = OC и CD = 26 см, то CO = CD : 2 = 13 см.
Ответ: △BCO = △ADO (доказано); BC = 15 см, CO = 13 см.
Проверка: CO + OD = 13 + 13 = 26 = CD ✓; BC = AD = 15 ✓
№127 Базовый уровень
Задание: На рисунке 59 ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. а) Докажите, что △ABC = △CDA; б) найдите AB и BC, если AD = 19 см, CD = 11 см.
💡 Проверить решение
(Сверяйся с рисунком 59 в учебнике: AC — общая диагональ, ∠1 и ∠2 — при AC с разных сторон, ∠3 и ∠4 — тоже при AC.)
а) Доказательство:
Рассмотрим △ABC и △CDA.
AC — общая сторона (первая пара равных элементов).
∠1 = ∠2 (по условию) — прилежащие углы к AC с одной стороны.
∠3 = ∠4 (по условию) — прилежащие углы к AC с другой стороны.
По стороне и двум прилежащим углам (второй признак): △ABC = △CDA.
б) Нахождение:
Из равенства △ABC = △CDA следует: AB = CD (соответственные стороны) и BC = AD.
AB = CD = 11 см; BC = AD = 19 см.
Ответ:AB = 11 см, BC = 19 см.
Проверка: соответственные стороны равны ✓; второй признак применён корректно ✓
№128 Средний уровень
Задание: На биссектрисе угла A взята точка D, а на сторонах угла — точки B и C так, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Рассмотрим △ABD и △ACD.
Шаг 2: AD — общая сторона.
Шаг 3: ∠BAD = ∠CAD (так как AD — биссектриса угла A).
Шаг 4: ∠ADB = ∠ADC (по условию).
Шаг 5: По стороне AD и двум прилежащим к ней углам (второй признак): △ABD = △ACD.
Шаг 6: Из равенства треугольников: BD = CD (соответственные стороны).
Ответ: BD = CD (доказано).
Проверка: все три элемента (сторона и два угла) — прилежащие к AD ✓
№130 Средний уровень
Задание: На рисунке 80 ∠DAC = ∠DBC, AO = BO. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD.
💡 Проверить решение
(Рисунок 80: отрезки AB и CD пересекаются в точке O.)
Шаг 1: Рассмотрим △AOD и △BOC.
Шаг 2: AO = BO (по условию).
Шаг 3: ∠AOD = ∠BOC (вертикальные углы).
Шаг 4: ∠OAD = ∠OBC (по условию ∠DAC = ∠DBC).
Шаг 5: По второму признаку: △AOD = △BOC.
Шаг 6: Из равенства: OD = OC и ∠D = ∠C.
Шаг 7: Теперь рассмотрим △AOC и △BOD: AO = BO, OC = OD (из шага 6), ∠AOC = ∠BOD (вертикальные).
Шаг 8: По первому признаку: △AOC = △BOD, откуда AC = BD.
Ответ: ∠C = ∠D и AC = BD (доказано).
Проверка: применили второй признак к △AOD и △BOC, затем первый — к △AOC и △BOD ✓
№131 Средний уровень
Задание: На рисунке 80 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, AC = 13 см. Найдите BD.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Рассмотрим △ACB и △BDA.
Шаг 2: AB — общая сторона.
Шаг 3: ∠CAB = ∠DBA (по условию) — прилежащий угол к AB.
Шаг 4: ∠CBA = ∠DAB (по условию) — второй прилежащий угол к AB.
Шаг 5: По второму признаку (сторона AB и два прилежащих угла): △ACB = △BDA.
Шаг 6: Из равенства треугольников: AC = BD (соответственные стороны).
Шаг 7: Так как AC = 13 см, то BD = 13 см.
Ответ:BD = 13 см.
Проверка: соответственные стороны равны ✓; второй признак применён корректно ✓
№132 Продвинутый уровень
Задание: В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки K и K₁ так, что ∠ACK = ∠A₁C₁K₁. Докажите, что △BCK = △B₁C₁K₁.
💡 Проверить решение
Шаг 1: По первому признаку (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁): △ABC = △A₁B₁C₁.
Шаг 2: Из равенства △: ∠C = ∠C₁ (соответственные углы).
Шаг 3: ∠BCK = ∠C − ∠ACK; ∠B₁C₁K₁ = ∠C₁ − ∠A₁C₁K₁. Так как ∠C = ∠C₁ и ∠ACK = ∠A₁C₁K₁ (по условию), то ∠BCK = ∠B₁C₁K₁.
Шаг 4: В △BCK и △B₁C₁K₁: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠BCK = ∠B₁C₁K₁.
Шаг 5: По второму признаку: △BCK = △B₁C₁K₁.
Ответ: △BCK = △B₁C₁K₁ (доказано).
Проверка: сначала установили равенство больших △ (1-й признак), затем выразили равные углы и применили 2-й признак ✓
№133 Продвинутый уровень
Задание: Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственным равным сторонам, равны.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Пусть △ABC = △A₁B₁C₁, причём AB = A₁B₁ (соответственные равные стороны). Проведём биссектрисы AL и A₁L₁ к сторонам BC и B₁C₁.
Шаг 2: Из равенства △ABC = △A₁B₁C₁: ∠B = ∠B₁, ∠A = ∠A₁, AB = A₁B₁.
Шаг 3: Биссектрисы делят углы пополам: ∠BAL = ∠A/2 и ∠B₁A₁L₁ = ∠A₁/2. Так как ∠A = ∠A₁, то ∠BAL = ∠B₁A₁L₁.
Шаг 4: Рассмотрим △ABL и △A₁B₁L₁: AB = A₁B₁, ∠B = ∠B₁, ∠BAL = ∠B₁A₁L₁.
Шаг 5: По второму признаку: △ABL = △A₁B₁L₁.
Шаг 6: Из равенства △: AL = A₁L₁ (соответственные стороны).
Ответ: биссектрисы AL и A₁L₁ равны (доказано).
Проверка: использовали равенство больших △, затем равенство половин углов и второй признак ✓
№135 Продвинутый уровень
Задание: В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки CO и C₁O₁ — медианы, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Докажите, что: а) △ACO = △A₁C₁O₁; б) △BCO = △B₁C₁O₁.
💡 Проверить решение
Шаг 1: В △ABC и △A₁B₁C₁: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. По второму признаку: △ABC = △A₁B₁C₁.
Шаг 2: Из равенства △: AC = A₁C₁, AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁.
Шаг 3: O и O₁ — середины AB и A₁B₁ (т. к. CO и C₁O₁ — медианы), значит AO = A₁O₁ и BO = B₁O₁.
а) △ACO = △A₁C₁O₁:
AC = A₁C₁ (шаг 2), ∠A = ∠A₁ (шаг 2), AO = A₁O₁ (шаг 3). По первому признаку: △ACO = △A₁C₁O₁.
б) △BCO = △B₁C₁O₁:
BC = B₁C₁ (условие), ∠B = ∠B₁ (условие), BO = B₁O₁ (шаг 3). По первому признаку: △BCO = △B₁C₁O₁.
Ответ: △ACO = △A₁C₁O₁ и △BCO = △B₁C₁O₁ (доказано).
Проверка: сначала установили равенство больших △ (2-й признак), затем применили 1-й признак к меньшим △ ✓
💡 Методическая подсказка
Если не знаешь, какой признак применить: отметь на чертеже все известные равные элементы (сторонами с засечками, углами с дугами) и посмотри, какие три элемента образуют «готовую комбинацию» для одного из трёх признаков.
Главная ловушка второго признака: углы должны быть ПРИЛЕЖАЩИМИ к данной стороне, а не «где-то в треугольнике». Проверяй: сторона — общая для обоих углов?
В сложных задачах: часто нужно сначала доказать равенство «больших» треугольников, а потом перейти к «меньшим» — как в №130, 132, 135.
Красивая связь: жёсткость треугольника (третий признак) — это то, почему фермы мостов и краны делают из треугольников, а не из четырёхугольников!
Проверка доказательства: в каждом шаге чётко указывай, какой признак применяешь и откуда взялись равные элементы (условие, общая сторона, вертикальные углы, биссектриса и т. д.).