🔺 Первый признак равенства треугольников

Геометрия 7 класс • Глава II, §1 • Страницы 30–33

Привет! 👋 Сегодня начинается новая глава — «Треугольники». Треугольник — самая простая и самая важная фигура в геометрии: из него «собраны» все остальные многоугольники, крыши домов и мосты. Ты познакомишься с элементами треугольника, узнаешь, что такое теорема и доказательство, и выучишь первый признак равенства треугольников — главный инструмент геометрии! 🔍

🌾 Блок 1. Изучение (15–20 мин)

🪝 Разминка: Зачем строителям треугольники?

Представь: двум геодезистам нужно проверить, одинаковы ли два земельных участка треугольной формы. Они не могут наложить один участок на другой — это земля! Но они могут измерить несколько элементов (стороны и углы) и по совпадению этих элементов сделать вывод: участки равны. Именно это и делает первый признак равенства треугольников — он говорит, каких именно трёх элементов достаточно для вывода! 📐

📖 Ключевые термины

Термин Что это? Как обозначаем
Треугольник Многоугольник с тремя вершинами, тремя сторонами и тремя углами. Простейший многоугольник. △ABC
Вершины треугольника Точки, в которых сходятся стороны. A, B, C
Стороны треугольника Отрезки, соединяющие вершины. AB, BC, CA
Углы треугольника Углы при вершинах; часто обозначают одной буквой. ∠A, ∠B, ∠C (или ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA)
Периметр Сумма длин всех сторон треугольника. P = AB + BC + CA
Равные треугольники Треугольники, которые совмещаются наложением: их соответственные стороны и углы равны. △ABC = △A₁B₁C₁
Теорема Утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений (доказательства). —
Первый признак Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого — треугольники равны. по двум сторонам и углу между ними

📐 Графические иллюстрации

Треугольник ABC: вершины, стороны, углы

A B C ∠A ∠B ∠C сторона AB (нижняя) сторона AC сторона BC

Рис. 1: Треугольник ABC: 3 вершины (A, B, C), 3 стороны (AB, BC, CA), 3 угла (∠A, ∠B, ∠C). Периметр P = AB + BC + CA

Равные треугольники: совмещение при наложении

A B C △ABC A₁ B₁ C₁ △A₁B₁C₁ = AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁

Рис. 2: Равные треугольники: при наложении совпадают вершины, стороны и углы. Запись: △ABC = △A₁B₁C₁

Первый признак: две стороны и угол между ними

A B C ∠A Две стороны и угол МЕЖДУ ними → треугольник определён однозначно

Рис. 3: Если известны две стороны (AB и AC) и угол между ними (∠A) — треугольник построен однозначно. Это и есть первый признак!

К доказательству: наложение △ABC на △A₁B₁C₁

A B C △ABC → наложение A₁ B₁ C₁ △A₁B₁C₁ Дано: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁ Вывод: △ABC = △A₁B₁C₁

Рис. 4: Идея доказательства: при наложении вершина A совмещается с A₁, стороны AB и AC ложатся на A₁B₁ и A₁C₁ (из равенства углов и сторон), значит B=B₁ и C=C₁ — треугольники совпали

📐 Главные правила

🌟 Правило 1: Элементы треугольника
У треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла. Сумма длин сторон — периметр: P = AB + BC + CA.
Что это значит? Любой треугольник однозначно задаётся тремя вершинами; записывают △ABC (порядок букв важен!).
🌟 Правило 2: Равенство треугольников
Треугольники равны, если их можно совместить наложением. Тогда соответственные стороны равны и соответственные углы равны.
Важно: в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
🌟 Правило 3: Первый признак равенства (ТЕОРЕМА)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого — такие треугольники равны.
Кратко: по двум сторонам и углу между ними (ДСУ).
🌟 Правило 4: Что такое «доказательство»
Доказательство — это цепочка логических шагов, где каждый шаг опирается либо на условие, либо на известное свойство (аксиому, определение, ранее доказанную теорему). Последний шаг — то, что требовалось доказать.
Пример: в доказательстве первого признака мы «накладываем» один треугольник на другой и показываем, что они совпали.
🌟 Правило 5: Как применять признак на практике
Чтобы доказать равенство двух треугольников:
1) найди в них пару равных сторон;
2) найди вторую пару равных сторон;
3) покажи, что углы МЕЖДУ этими сторонами тоже равны;
4) сделай вывод: «по первому признаку △... = △...».
⚠️ Важно запомнить:
• Угол должен быть между равными сторонами, а не «где-то в треугольнике»!
• Равенство треугольников записывают с соблюдением порядка вершин: если △ABC = △A₁B₁C₁, то A↔A₁, B↔B₁, C↔C₁
• Первый признак — самый частый инструмент: он есть почти в каждой задаче на доказательство
• «Соответственные» элементы — те, которые совмещаются при наложении

🛠 Блок 2. Закрепление (20–25 мин)

Задания из учебника (стр. 30–33). Решай в тетради с линейкой, угольником и транспортиром. После выполнения открой подсказку и проверь себя!

№92 Базовый уровень

Задание: Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами M, N и P. а) Назовите все углы и стороны треугольника; б) с помощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите периметр треугольника.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Начерти любой треугольник и подпиши вершины M, N, P.
Шаг 2: Выпиши стороны: MN, NP, PM. Углы: ∠M (при вершине M), ∠N, ∠P (или ∠MNP, ∠NPM, ∠PMN).
Шаг 3: Измерь линейкой каждую сторону в сантиметрах (с точностью до мм).
Шаг 4: Сложи три длины — получишь периметр: P = MN + NP + PM.

Пример ответа: MN = 4,2 см, NP = 5,1 см, PM = 3,8 см → P = 4,2 + 5,1 + 3,8 = 13,1 см.

Твои числа будут другими — это нормально, главное — верный способ.

№95 Базовый уровень

Задание: Сторона AB треугольника ABC равна 17 см, сторона AC вдвое больше стороны AB, а сторона BC на 10 см меньше стороны AC. Найдите периметр треугольника ABC.

💡 Проверить решение
Шаг 1: AB = 17 см.
Шаг 2: AC = 2 · AB = 2 · 17 = 34 см.
Шаг 3: BC = AC − 10 = 34 − 10 = 24 см.
Шаг 4: P = AB + AC + BC = 17 + 34 + 24 = 75 см.

Ответ: P = 75 см.

Проверка: 17 + 34 + 24 = 75 ✓; AC = 2·17 = 34 ✓; BC = 34 − 10 = 24 ✓

№96 Средний уровень

Задание: Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Обозначим неизвестные стороны x и y (x > y). Известно: x + y = 48 − 18 = 30 см и x − y = 4,6 см.
Шаг 2: Сложим уравнения: (x + y) + (x − y) = 30 + 4,6 → 2x = 34,6 → x = 17,3 см.
Шаг 3: y = 30 − 17,3 = 12,7 см.

Ответ: 17,3 см и 12,7 см.

Проверка: 18 + 17,3 + 12,7 = 48 ✓; 17,3 − 12,7 = 4,6 ✓

№97 Средний уровень

Задание: Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники?

💡 Проверить решение
Шаг 1: Если треугольники равны, то их соответственные стороны равны (по определению равенства фигур).
Шаг 2: Периметр — это сумма сторон. Если стороны попарно равны, то и суммы равны: P₁ = P₂.
Шаг 3: Но по условию P₁ > P₂ — противоречие.

Ответ: нет, не могут: у равных треугольников периметры обязательно равны.

Вывод: если периметры разные — треугольники точно не равны (а вот если одинаковые — ещё не факт, что равны).

№99 Средний уровень

Задание: На рисунке 58 AB = AC, ∠1 = ∠2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и AB, если AC = 15 см, DC = 5 см.

💡 Проверить решение

(Сверяйся с рисунком 58 в учебнике: D — точка, соединённая с A, B и C; ∠1 и ∠2 — углы при вершине A.)

а) Доказательство:

Рассмотрим △ABD и △ACD.
AB = AC (по условию) — первая пара равных сторон.
∠1 = ∠2 (по условию) — угол МЕЖДУ сторонами AB и AD в △ABD равен углу МЕЖДУ сторонами AC и AD в △ACD.
AD — общая сторона — вторая пара равных сторон.
По двум сторонам и углу между ними: △ABD = △ACD (первый признак).

б) Нахождение:

Из равенства △ABD = △ACD следует: BD = CD (соответственные стороны).
CD = 5 см → BD = 5 см.
AB = AC (по условию) = 15 см → AB = 15 см.

Ответ: BD = 5 см, AB = 15 см.

Проверка: в △ABD и △ACD: AB=AC=15, AD общая, ∠1=∠2 → равны по первому признаку ✓

№102 Продвинутый уровень

Задание: Отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что △ABC = △CDA.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Обозначим точку пересечения O. По условию: AO = OC и BO = OD.
Шаг 2: Рассмотрим △AOB и △COD: AO = OC, BO = OD, ∠AOB = ∠COD (вертикальные углы — равны). По первому признаку △AOB = △COD.
Шаг 3: Из равенства △AOB = △COD следует: AB = CD (соответственные стороны) и ∠OAB = ∠OCD (соответственные углы), то есть ∠BAC = ∠DCA.
Шаг 4: Рассмотрим △ABC и △CDA: AB = CD (из шага 3), ∠BAC = ∠DCA (из шага 3), AC — общая сторона.
Шаг 5: По двум сторонам и углу между ними: △ABC = △CDA.

Ответ: △ABC = △CDA (доказано).

Проверка: все три шага используют только первый признак и свойства вертикальных углов ✓

№103 Продвинутый уровень

Задание: В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = AP₁. Докажите, что △BPC = △B₁P₁C₁.

💡 Проверить решение
Шаг 1: По условию AB = A₁B₁ и AP = AP₁. Значит, BP = AB − AP = A₁B₁ − A₁P₁ = B₁P₁.
Шаг 2: △ABC = △A₁B₁C₁ по первому признаку (AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁). Значит, BC = B₁C₁ и ∠B = ∠B₁.
Шаг 3: Рассмотрим △BPC и △B₁P₁C₁: BP = B₁P₁ (шаг 1), ∠B = ∠B₁ (шаг 2), BC = B₁C₁ (шаг 2).
Шаг 4: По двум сторонам и углу между ними: △BPC = △B₁P₁C₁.

Ответ: △BPC = △B₁P₁C₁ (доказано).

Проверка: каждый шаг опирается либо на условие, либо на уже доказанное равенство ✓

№104 Продвинутый уровень

Задание: На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на луче AC, а точка E — на луче AD, причём AC = AD и AB = AE. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Рассмотрим △ABC и △AED: AB = AE (по условию), ∠A — общий, AC = AD (по условию). По первому признаку △ABC = △AED.
Шаг 2: Из равенства △ABC = △AED следует: ∠ABC = ∠AED (соответственные углы при вершинах B и E).
Шаг 3: Углы CBD и ABC — смежные (точки A, B, C лежат на одном луче, значит B — между A и C, и угол CBD дополняет ∠ABC до развёрнутого). То есть ∠CBD = 180° − ∠ABC.
Шаг 4: Аналогично ∠DEC и ∠AED — смежные: ∠DEC = 180° − ∠AED.
Шаг 5: Так как ∠ABC = ∠AED (шаг 2), то и 180° − ∠ABC = 180° − ∠AED, то есть ∠CBD = ∠DEC.

Ответ: ∠CBD = ∠DEC (доказано).

Проверка: цепочка: △ABC = △AED (1-й признак) → ∠ABC = ∠AED → смежные с ними равны ✓

💡 Методическая подсказка