🎓 Повторение главы I: начальные геометрические сведения

Геометрия 7 класс • Глава I • Вопросы для повторения 1–26 (стр. 26) • Дополнительные задачи 75–91 (стр. 27)

Привет! 👋 Сегодня урок-повторение: собираем всю главу I в одну копилку. Сначала пробежимся по 26 устным вопросам (нажимай на вопрос — откроется ответ), потом решим дополнительные задачи со звёздочкой сложности. Главное правило геометрии: сначала чертёж, потом вычисления! 📐

🌾 Блок 1. Устное повторение (15–20 мин)

📏 Прямые, отрезки, лучи

1Сколько прямых можно провести через две точки?

Ответ: ровно одну (аксиома).

2Сколько общих точек могут иметь две прямые?

Ответ: не больше одной: либо одна (пересекаются), либо ни одной (не пересекаются).

3Объясните, что такое отрезок.

Ответ: часть прямой, ограниченная двумя точками — концами; содержит концы и все точки между ними.

4Какая фигура называется ломаной? Что такое вершины и звенья?

Ответ: ломаная — несколько отрезков, соединённых концами последовательно (соседние не на одной прямой). Отрезки — звенья, точки их соединения — вершины.

5Какая ломаная называется многоугольником?

Ответ: замкнутая ломаная без самопересечений (концы совпадают); её звенья — стороны многоугольника.

6Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?

Ответ: часть прямой с началом, но без конца. Обозначение: двумя буквами (первая — начало, например OA) или одной строчной буквой (h, k).

10Объясните, как сравнить два отрезка.

Ответ: наложением (совместить концы) или сравнением длин: длиннее тот, у кого длина больше.

11Какая точка называется серединой отрезка?

Ответ: точка C, делящая отрезок AB на два равных: AC = CB.

14Точка C делит отрезок AB на два отрезка. Как найти AB, зная AC и CB?

Ответ: AB = AC + CB (целое равно сумме частей).

15Что такое длина ломаной?

Ответ: сумма длин всех звеньев; длина замкнутой ломаной ( многоугольника) — его периметр.

16Какое наименьшее число сторон может иметь многоугольник?

Ответ: три (треугольник).

17Объясните, как найти периметр многоугольника.

Ответ: сложить длины всех сторон.

18Какими инструментами пользуются для измерения расстояний?

Ответ: линейка, рулетка, измерительная лента; на местности — рулетка и дальномер.

📐 Углы и их меры

7Какая фигура называется углом? Что такое вершина и стороны?

Ответ: фигура из точки (вершины) и двух лучей (сторон), из неё выходящих. Запись: ∠AOB, ∠hk, ∠O.

8Какой угол называется развёрнутым?

Ответ: угол в 180°: его стороны лежат на одной прямой (дополнительные лучи).

9Какие фигуры называются равными?

Ответ: те, что совпадают при наложении.

12Объясните, как сравнить два угла.

Ответ: наложением (совместить вершину и одну сторону) или транспортиром: больше тот, у кого градусная мера больше.

13Какой луч называется биссектрисой угла?

Ответ: луч из вершины, делящий угол на два равных.

19Что такое градусная мера угла?

Ответ: число градусов (1° = 1/180 развёрнутого угла), содержащихся в угле; измеряется транспортиром.

20Луч OC делит угол AOB на два угла. Как найти ∠AOB, зная ∠AOC и ∠COB?

Ответ: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB.

21Какой угол называется острым; прямым; тупым?

Ответ: острый — меньше 90°; прямой — ровно 90°; тупой — больше 90°, но меньше 180°.

22Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов?

Ответ: углы с одной общей стороной, а две другие — дополнительные лучи. Сумма = 180°.

23Какие углы называются вертикальными? Каким свойством они обладают?

Ответ: углы, стороны одного — продолжения сторон другого. Вертикальные углы равны.

⊥ Перпендикулярность

24Какие прямые называются перпендикулярными?

Ответ: прямые, пересекающиеся под прямым углом (образуют четыре прямых угла). Запись: a ⊥ b.

25Объясните, почему две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Ответ: если бы они пересеклись в точке M, то из M к третьей прямой шли бы два перпендикуляра; при наложении рисунка лучи совпали бы — противоречие. Значит, не пересекаются.

26Какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?

Ответ: на чертеже — чертёжный треугольник (угольник); на местности — эккер, а также более точный теодолит.

🔑 Три ключа главы:
1) Смежные углы: сумма 180°. 2) Вертикальные углы: равны. 3) Отрезок: целое = сумма частей (и то же для градусных мер углов).

🛠 Блок 2. Дополнительные задачи (20–25 мин)

🔥 Разминка: посчитай без ошибки

75Четыре точки, никакие три не на одной прямой. Через каждую пару — прямая. Сколько прямых?
Прямую задаёт пара точек: пар из четырёх точек шесть: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).

Ответ: 6 прямых.

76Четыре прямые, каждые две пересекаются, через каждую точку пересечения — только две прямые. Сколько точек?
Точку пересечения задаёт пара прямых: пар из четырёх прямых шесть.

Ответ: 6 точек.

77Сколько неразвёрнутых углов образуют три прямые, проходящие через одну точку?
Три прямые дают 6 лучей из точки O. Пар лучей: 15; из них 3 пары — дополнительные лучи (развёрнутые углы).
Остальные пары дают неразвёрнутые углы: 15 − 3 = 12.

Ответ: 12 неразвёрнутых углов.

Уровень 1 Задача 78

Задание: Точка N лежит на отрезке MP. Расстояние между M и P равно 24 см, а расстояние между N и M в 2 раза больше расстояния между N и P. Найдите расстояния: а) между N и P; б) между N и M.

💡 Проверить решение
Шаг 1: N на отрезке MP, значит NP + NM = MP = 24 см.
Шаг 2: Пусть NP = x, тогда NM = 2x. Уравнение: x + 2x = 24 → 3x = 24 → x = 8.

Ответ: а) NP = 8 см; б) NM = 16 см.

Проверка: 8 + 16 = 24 ✓ и 16 = 2·8 ✓

Уровень 1 Задача 79

Задание: Точки K, L, M лежат на одной прямой, KL = 6 см, LM = 10 см. Каким может быть расстояние KM? Для каждого случая сделай чертёж.

💡 Проверить решение
Случай 1: L между K и M. KM = KL + LM = 6 + 10 = 16 см.
Случай 2: K между L и M. LM = LK + KM → KM = 10 − 6 = 4 см.
Случай 3: M между K и L? Тогда KL = KM + ML → 6 = KM + 10 — невозможно (часть больше целого).

Ответ: KM = 16 см или KM = 4 см (смотри схему ниже).

Два случая задачи 79 (масштаб: 1 см = 10 px)

K L M 6 10 KM = 16 см L K M 6 4 KM = 4 см Случай 1: L между K и M Случай 2: K между L и M

Схема к задаче 79: порядок точек решает всё — сначала чертёж, потом вычисления

Уровень 2 Задача 80

Задание: Отрезок AB длины a разделён точками P и Q на три отрезка так, что AP = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой A и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков AP и QB.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Пусть QB = x; тогда PQ = x (ведь 2PQ = 2QB) и AP = 2x. Всего: 2x + x + x = a → 4x = a → x = a/4.
Шаг 2: Координаты на прямой: A = 0; P = AP = a/2; Q = a/2 + a/4 = 3a/4; B = a.

а)

Середина QB: (3a/4 + a) : 2 = 7a/8. Расстояние от A: 7a/8 − 0 = 7a/8.

Ответ: 7a/8.

б)

Середина AP: a/4; середина QB: 7a/8. Расстояние: 7a/8 − a/4 = 5a/8.

Ответ: 5a/8.

Проверка: AP = a/2 = 2·(a/4) = 2PQ ✓; суммы частей: a/2 + a/4 + a/4 = a ✓

Уровень 2 Задача 82

Задание: Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Части по порядку: x₁, x₂, x₃, x₄. Крайние: T = x₁ + x₄; средние: S = x₂ + x₃; T + S = 36.
Шаг 2: Между серединами крайних частей умещаются: половина x₁, целиком x₂ и x₃, половина x₄: S + T/2 = 30.
Шаг 3: Вычтем из T + S = 36: (T + S) − (S + T/2) = 36 − 30 → T/2 = 6 → T = 12, тогда S = 24.
Шаг 4: Между серединами средних частей: половина x₂ + половина x₃ = S/2 = 12 см.

Ответ: 12 см.

Проверка на примере: x₁=2, x₂=4, x₃=20, x₄=10 (T=12, S=24): середины крайних: 1 и 36−5=31 → 30 ✓; середины средних: 2+2=4 и 2+4+10=16 → 12 ✓

Уровень 3 Задача 84

Задание: Известно, что ∠AOB = 35°, ∠BOC = 50°. Найдите угол AOC. Для каждого случая сделай чертёж линейкой и транспортиром.

💡 Проверить решение
Случай 1: луч OB внутри угла AOC. ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 35° + 50° = 85°.
Случай 2: луч OA внутри угла BOC. ∠AOC = ∠BOC − ∠AOB = 50° − 35° = 15°.
Случай 3: луч OC внутри угла AOB? Тогда ∠AOB = ∠AOC + ∠COB → 35° = ∠AOC + 50° — невозможно.

Ответ: ∠AOC = 85° или 15°.

Проверка: в случае 1: 35° + 50° = 85° ✓; в случае 2: 15° + 35° = 50° ✓

Уровень 3 Задача 86

Задание: Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45° больше другого; б) их разность равна 35°.

💡 Проверить решение
Основа: сумма смежных углов = 180°.

а)

x + (x + 45°) = 180° → 2x = 135° → x = 67,5°. Углы: 67,5° и 112,5°.

б)

x + y = 180° и x − y = 35°. Сложим: 2x = 215° → x = 107,5°; y = 180° − 107,5° = 72,5°.

Ответ: а) 67,5° и 112,5°; б) 107,5° и 72,5°.

Проверка: 67,5 + 112,5 = 180 ✓, 112,5 − 67,5 = 45 ✓; 107,5 + 72,5 = 180 ✓, 107,5 − 72,5 = 35 ✓

💡 Методическая подсказка

🔥 Лайфхак главы: чертёж и случаи — не потеряй второй ответ!
В задачах «точки на прямой» и «луч внутри угла» ответ часто не один. Алгоритм:
1) Сделай чертёж по условию и отметь известные величины.
2) Спроси: «Может ли точка (луч) стоять ИНАЧЕ?» — с другой стороны, между другими точками.
3) Реши КАЖДЫЙ случай отдельно и запиши все ответы; невозможный случай объясни («часть не больше целого»).