Привет! 👋 Сегодня ты научишься строить геометрические фигуры только с помощью двух инструментов — циркуля и линейки без делений. Эти же инструменты использовали геометры Древней Греции больше двух тысяч лет назад! Ты узнаешь, что такое окружность, и научишься строить угол, равный данному, биссектрису угла, перпендикуляр к прямой и середину отрезка. 🛠️
🌾 Блок 1. Изучение (15–20 мин)
🪝 Разминка: Почему циркуль и линейка?
Представь древнегреческого геометра: у него нет ни транспортира, ни линейки с делениями, ни тем более компьютера. Только два инструмента — циркуль и обычная линейка без делений. И с их помощью он может построить почти всё, что нужно в геометрии: равные углы, биссектрисы, перпендикуляры, середины отрезков! Дело в том, что циркуль умеет делать одну простую вещь — проводить окружность с данным центром и данным радиусом. А из комбинации окружностей и прямых линий, как из конструктора, складываются все основные построения. Этот набор инструментов оказался настолько мощным, что вся геометрия (вплоть до XIX века) опиралась именно на него. 🏛️
📖 Ключевые термины
Термин
Что это?
Как обозначаем
Окружность
Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
—
Центр окружности
Данная точка, от которой измеряется расстояние до всех точек окружности.
O (точка)
Радиус
Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы одной окружности равны между собой.
r, OM, OA
Хорда
Отрезок, соединяющий две точки окружности.
AB, CD
Диаметр
Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр в 2 раза больше радиуса.
d = 2r
Дуга окружности
Каждая из двух частей окружности, на которые её делят любые две точки.
⌒AB, ⌒ALB
Круг
Часть плоскости, ограниченная окружностью.
—
Серединный перпендикуляр
Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.
—
📐 Графические иллюстрации
Окружность: центр, радиус, хорда, диаметр
Рис. 1: Окружность с центром O. OA — радиус, BC — хорда (не через центр), DE — диаметр (через центр, равен 2r)
Дуги окружности
Рис. 2: Две точки A и B делят окружность на две дуги. ALB (через L) — большая дуга, AMB (через M) — меньшая дуга
Построение отрезка, равного данному
Рис. 3: Чтобы отложить на луче OC отрезок, равный AB, проводим окружность с центром O и радиусом AB. Точка D пересечения окружности с лучом — искомая: OD = AB
Построение угла, равного данному
Рис. 4: (а) Данный угол A. (б) Проводим окружность (O, r) и (D, BC); точка E их пересечения даёт угол MOE, равный данному. Доказательство: △ODE = △ABC по трём сторонам
Построение биссектрисы угла
Рис. 5: Построение биссектрисы угла KAM. Окружность с центром A даёт точки B и C на сторонах. Две окружности с центрами B и C (одинакового радиуса BC) пересекаются в точке E внутри угла. Луч AE — биссектриса. Доказательство: △ACE = △ABE по трём сторонам
Построение середины отрезка
Рис. 6: Построение середины отрезка AB. Две окружности с центрами A и B (радиус AB) пересекаются в точках P и Q. Прямая PQ пересекает AB в её середине O. Доказательство: △APQ = △BPQ по трём сторонам, значит PO — биссектриса равнобедренного △APB, а значит и высота, и медиана
📐 Главные правила
🌟 Правило 1: Определение окружности Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центра). Радиус — отрезок, соединяющий центр с точкой окружности; все радиусы одной окружности равны. Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр; он в 2 раза больше радиуса. Дуга — каждая из двух частей, на которые две точки делят окружность. Что это значит простыми словами: окружность — это «ровный круг», все точки которого находятся на одном и том же расстоянии от центра. Это расстояние и есть радиус. Диаметр — это «двойной радиус», проходящий через центр.
🌟 Правило 2: Что можно делать циркулем и линейкой
С помощью линейки без делений можно: провести произвольную прямую и построить прямую через две данные точки. С помощью циркуля можно: провести окружность произвольного радиуса и провести окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Что это значит: только этих операций достаточно, чтобы решать многие задачи на построение — откладывать равные отрезки, строить равные углы, биссектрисы, перпендикуляры, середины отрезков. Никаких измерений «по делениям» — только построения!
🌟 Правило 3: Алгоритм построения угла, равного данному
Дано: угол A и луч OM. Построение:
1. Провести окружность с центром A — она пересекает стороны угла в точках B и C.
2. Провести окружность того же радиуса с центром O — она пересекает луч OM в точке D.
3. Провести окружность с центром D и радиусом BC — она пересекает предыдущую окружность в точке E.
4. Угол MOE — искомый: ∠MOE = ∠A. Почему работает: △ABC = △ODE по трём сторонам (AB = OD и AC = OE — равные радиусы; BC = DE по построению). Значит, ∠BAC = ∠DOE.
🌟 Правило 4: Алгоритм построения биссектрисы угла
Дано: угол KAM. Построение:
1. Провести окружность с центром A — она пересекает стороны угла в точках B и C.
2. Провести две окружности одинакового радиуса BC с центрами B и C.
3. Они пересекаются в двух точках; одну (внутри угла) обозначить E.
4. Луч AE — искомая биссектриса. Почему работает: △ACE = △ABE по трём сторонам (AE — общая, AC = AB — радиусы, CE = BE по построению). Значит, ∠CAE = ∠BAE, то есть AE делит угол пополам.
🌟 Правило 5: Алгоритмы построения перпендикуляра и середины отрезка А) Через точку M на прямой a провести перпендикуляр: отложить на лучах прямой a равные отрезки MA = MB; провести две окружности с центрами A и B радиуса AB; они пересекутся в точках P и Q; прямая MP — искомый перпендикуляр. Доказательство: PM — медиана равнобедренного △PAB, а значит и высота, то есть PM ⊥ a. Б) Найти середину отрезка AB: провести две окружности с центрами A и B радиуса AB; они пересекутся в точках P и Q; прямая PQ пересечёт AB в её середине O. Доказательство: △APQ = △BPQ по трём сторонам, поэтому PO — биссектриса равнобедренного △APB, а значит и медиана, и высота. Серединный перпендикуляр к AB — это прямая PQ.
⚠️ Важно запомнить:
• Все радиусы одной окружности равны между собой — это ключевое свойство, на котором основаны все доказательства построений
• Диаметр — это ХОРДА, проходящая через центр; любой диаметр равен 2r
• Две точки окружности делят её ровно на две дуги — большую и меньшую (если точки не диаметрально противоположны)
• В построениях циркулем и линейкой линейка НЕ ИМЕЕТ делений — отмерять отрезок «в сантиметрах» нельзя; можно только прикладывать циркуль
• Каждое построение нужно доказывать: показать, что построенная фигура действительно обладает нужным свойством (используя признаки равенства треугольников)
• Задача о трисекции угла (разделить угол на три равные части) с помощью циркуля и линейки в общем случае НЕ РЕШАЕТСЯ — это было доказано только в XIX веке
🛠 Блок 2. Закрепление (20–25 мин)
Задания из учебника (стр. 43–49). Решай в тетради с линейкой и циркулем. После выполнения открой подсказку и проверь себя!
№148 Базовый уровень
Задание: Какие из отрезков, изображённых на рисунке 96, являются: а) хордами окружности; б) диаметром окружности; в) радиусами окружности? (Точка O — центр окружности.)
💡 Проверить решение
Задача опирается на рисунок 96 учебника — перечерти его в тетрадь и проверяй по нему. Точный ответ зависит от того, какие отрезки проведены на рисунке.
Шаг 1: Вспомним определения. Хорда — отрезок, оба конца которого лежат на окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр O. Радиус — отрезок, соединяющий центр O с точкой окружности.
Шаг 2: Проверяем каждый отрезок на рисунке 96: если оба конца лежат на окружности — это хорда; если среди концов есть центр O — это диаметр; если один конец O, а другой — точка окружности — это радиус.
Шаг 3: Пример на нашем Рис. 1: BC — хорда (оба конца на окружности, через центр не проходит); DE — диаметр (хорда через центр O); OA — радиус (центр O и точка A на окружности).
Ответ: смотри рисунок 96 учебника: хорды — все отрезки с обоими концами на окружности; диаметр — та хорда, которая проходит через O; радиусы — отрезки от O к точкам окружности.
Проверка: диаметр — всегда хорда (он проходит через центр) ✓; радиус соединяет центр с точкой окружности, а не две точки окружности ✓
№149 Базовый уровень
Задание: Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите свойства хорд: а) хорды BD и AC равны; б) хорды AD и BC равны; в) ∠BAD = ∠BCD.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Так как AB и CD — диаметры, то O — их общая середина, и OA = OB = OC = OD = r (все они радиусы одной окружности).
а) Докажем, что BD = AC.
Шаг 2: Рассмотрим △AOC и △BOD. У них: OA = OB (радиусы), OC = OD (радиусы), ∠AOC = ∠BOD (вертикальные углы).
Шаг 3: По первому признаку (две стороны и угол между ними) △AOC = △BOD. Значит, AC = BD (соответственные стороны).
б) Докажем, что AD = BC.
Шаг 4: Рассмотрим △AOD и △BOC. У них: OA = OB, OD = OC, ∠AOD = ∠BOC (вертикальные).
Шаг 5: По первому признаку △AOD = △BOC. Значит, AD = BC.
в) Докажем, что ∠BAD = ∠BCD.
Шаг 6: Рассмотрим △ABD и △CDB. У них: AB = CD (оба диаметра, оба = 2r); AD = CB (доказано в б); BD = DB — общая сторона.
Ответ: а) BD = AC; б) AD = BC; в) ∠BAD = ∠BCD — все свойства доказаны.
Проверка: в каждом пункте использован признак равенства треугольников, равенство сторон и углов следует из равенства треугольников ✓
№150 Базовый уровень
Задание: Отрезок MK — диаметр окружности с центром O, а MP и PK — равные хорды этой окружности. Найдите угол POM.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Так как MK — диаметр, O — середина MK, и OM = OK = OP = r (все радиусы).
Шаг 2: В △MPK: MP = PK (по условию) — треугольник равнобедренный с вершиной P. Отрезок PO — медиана к основанию MK (так как O — середина MK).
Шаг 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Значит, PO ⊥ MK.
Шаг 4: Так как OM лежит на прямой MK, то ∠POM = 90°.
Ответ:∠POM = 90°.
Проверка: PO — высота △MPK, опущенная на MK; OM ⊂ MK; значит, PO ⊥ OM, то есть ∠POM = 90° ✓
№151 Средний уровень
Задание: Отрезки AB и CD — диаметры окружности с центром O. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что CB = 13 см, AB = 16 см.
💡 Проверить решение
Шаг 1: AB — диаметр, AB = 16 см, значит радиус r = OA = OB = AB : 2 = 8 см.
Шаг 2: CD — диаметр, поэтому OC = OD = r = 8 см.
Шаг 3: В △AOD и △BOC: OA = OB (радиусы), OD = OC (радиусы), ∠AOD = ∠BOC (вертикальные). По первому признаку △AOD = △BOC.
Шаг 4: Из равенства треугольников: AD = BC = 13 см (соответственные стороны).
Шаг 5: Периметр △AOD: P = OA + OD + AD = 8 + 8 + 13 = 29 (см).
Ответ:P△AOD = 29 см.
Проверка: AD = BC = 13 (равенство △) ✓; OA = OD = 8 (радиусы) ✓; 8 + 8 + 13 = 29 ✓
№153 Средний уровень
Задание: На прямой даны две точки A и B. На продолжении луча BA отложите отрезок BC так, чтобы BC = 2AB.
💡 Проверить решение
Луч BA — это луч с началом в B, проходящий через A и продолжающийся за A. Значит, точка C должна лежать на прямой AB с другой стороны от A (не там, где B).
Шаг 1: BC = BA + AC (так как A лежит между B и C). Нам нужно BC = 2·AB, то есть BA + AC = 2·AB, откуда AC = AB.
Шаг 2:Построение: проводим окружность с центром A и радиусом AB. Она пересекает продолжение луча BA (за точку A) в точке C.
Шаг 3: Тогда AC = AB (как радиус), и BC = BA + AC = AB + AB = 2·AB.
Ответ:построение — окружность с центром A радиуса AB; точка C — пересечение этой окружности с продолжением луча BA за точку A. Тогда BC = 2AB.
Проверка: AC = AB (радиус) ✓; BC = BA + AC = AB + AB = 2·AB ✓
№154 Продвинутый уровень
Задание: Даны прямая a, точка B, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку M на прямой a так, чтобы BM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
💡 Проверить решение
Построение:
Шаг 1: Проводим окружность с центром B и радиусом PQ.
Шаг 2: Точки пересечения этой окружности с прямой a (если они есть) — искомые точки M. Для каждой из них BM = PQ (как радиус).
Сколько решений?
Шаг 3: Обозначим d = ρ(B, a) — расстояние от точки B до прямой a (длина перпендикуляра из B на a). Возможны три случая:
• d < PQ — окружность пересекает прямую в двух точках, задача имеет 2 решения.
• d = PQ — окружность касается прямой в одной точке (основание перпендикуляра), задача имеет 1 решение.
• d > PQ — окружность не доходит до прямой, задача не имеет решений.
Ответ: построение — окружность с центром B радиуса PQ; точки M — точки пересечения с прямой a. Задача имеет 2 решения, если d < PQ; 1 решение, если d = PQ; не имеет решений, если d > PQ. То есть задача решается НЕ ВСЕГДА.
Проверка: BM = PQ по построению (радиус) ✓; количество точек пересечения окружности с прямой — 0, 1 или 2 в зависимости от соотношения d и PQ ✓
№158 Средний уровень
Задание: Даны прямая a и точка M, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную к прямой a.
💡 Проверить решение
Это построение разбирается в учебнике (рис. 97). Воспроизводим его и доказываем.
Построение:
Шаг 1: Проведём окружность с центром в точке M, пересекающую прямую a в двух точках. Обозначим их A и B.
Шаг 2: Проведём две окружности с центрами A и B, проходящие через точку M (то есть радиуса AM = BM). Эти окружности пересекаются в точке M и ещё в одной точке, которую обозначим N.
Шаг 3: Проведём прямую MN — она и есть искомый перпендикуляр к прямой a.
Доказательство:
Шаг 4: Рассмотрим △AMN и △BMN. У них: AM = BM (по построению — окружность с центром M); AN = BN (по построению — окружности с центрами A и B одного радиуса); MN — общая сторона.
Шаг 5: По третьему признаку (три стороны) △AMN = △BMN. Значит, ∠1 = ∠2 (соответственные углы при вершине M).
Шаг 6: Отрезок MC (где C — точка пересечения MN с прямой a) является биссектрисой равнобедренного △AMB (AM = BM). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является и высотой. Значит, MC ⊥ AB, то есть MN ⊥ a.
Ответ: прямая MN — искомый перпендикуляр к a, проходящий через M.
Проверка: △AMN = △BMN (3-й признак) ✓; AM = BM (равнобедренный) ✓; биссектриса = высота в равнобедренном △ ✓
№159 Средний уровень
Задание: Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису AK; б) медиану BM; в) высоту CH треугольника.
💡 Проверить решение
Каждая подзадача сводится к одному из основных построений, изученных в §4.
а) Биссектриса AK (K на стороне BC).
Используем алгоритм построения биссектрисы угла (Правило 4). Применяем его к углу A треугольника ABC: проводим окружность с центром A, отмечаем точки на сторонах AB и AC, затем две окружности с центрами в этих точках; их пересечение E внутри угла даёт луч AE. Точка K = AE ∩ BC. Луч AK — искомая биссектриса.
б) Медиана BM (M — середина AC).
Шаг 1: Найдём середину M отрезка AC, используя алгоритм построения середины отрезка (Правило 5Б): проводим две окружности с центрами A и C радиуса AC; их пересечения дают серединный перпендикуляр, который пересекает AC в середине M.
Шаг 2: Соединяем B и M. Отрезок BM — искомая медиана.
в) Высота CH (H — основание перпендикуляра из C на AB).
Шаг 1: Используем алгоритм построения перпендикуляра из точки на прямую (как в №158): проводим окружность с центром C, пересекающую прямую AB в двух точках P и Q; затем проводим окружности с центрами P и Q (радиуса CP = CQ); их второе пересечение даёт точку R; прямая CR пересекает AB в точке H.
Шаг 2: Отрезок CH — искомая высота, CH ⊥ AB.
Ответ: а) AK — биссектриса (через построение биссектрисы угла A); б) BM — медиана (через построение середины AC); в) CH — высота (через построение перпендикуляра из C на AB).
Проверка: каждое построение сводится к одному из основных алгоритмов §4, для которых доказательства уже даны ✓
№160 Продвинутый уровень
Задание: С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30′.
💡 Проверить решение
Идея: 45° = 90° : 2; 22°30′ = 45° : 2. Каждое деление угла пополам выполняется построением биссектрисы. Прямой угол (90°) строится как перпендикуляр к прямой.
а) Построение угла 45°.
Шаг 1: Проводим произвольную прямую a и отмечаем на ней точку O.
Шаг 2: Строим прямую b, перпендикулярную a и проходящую через O (по алгоритму из Правила 5А: откладываем равные отрезки OA = OB на прямой a, проводим окружности с центрами A и B радиуса AB, соединяем O с их пересечением). Получаем прямой угол 90°.
Шаг 3: Строим биссектрису полученного прямого угла (по алгоритму из Правила 4: окружность с центром O, две окружности с центрами в точках пересечения). Биссектриса делит 90° на два угла по 45°.
б) Построение угла 22°30′.
Шаг 4: Строим угол 45° (как в пункте а).
Шаг 5: Строим биссектрису этого угла (тот же алгоритм). Биссектриса делит 45° на два угла по 22°30′.
Главный приём построения: почти все классические построения циркулем и линейкой сводятся к проведению окружностей с данными центрами и радиусами и к поиску точек их пересечения. Запомни четыре базовых алгоритма: отложить отрезок, построить угол, построить биссектрису, построить серединный перпендикуляр — из них собираются все остальные задачи.
Доказательство построения: после того как построил фигуру, обязательно докажи, что она обладает нужным свойством. Стандартный приём — найти два треугольника, равенство которых (по одному из признаков) гарантирует нужное равенство сторон или углов.
Проверка «всегда ли решение»: в задачах типа №154–№155 нужно рассматривать взаимное расположение окружности и прямой/окружности. Возможны 0, 1 или 2 решений — каждый случай разбирается отдельно.
Углы вида 45°, 22°30′, 30°, 60°, 90°: строятся последовательным делением пополам (биссектрисой) и использованием свойств равностороннего треугольника. Например, 60° = угол равностороннего треугольника, 30° = половина 60°, 90° = перпендикуляр, 45° = половина 90°.
Сложности с рисунком учебника: если в задаче (№148, №152) важен конкретный рисунок, перечерти его себе в тетрадь и отмечай на нём все данные и построения. Геометрия без точного чертежа — это гадание.