⊥ Перпендикулярные прямые

Геометрия 7 класс • Глава 1, §6 • Страницы 20–26

Привет! 👋 Сегодня изучаем пары углов, которые возникают при пересечении прямых: смежные и вертикальные, — и особый случай пересечения под прямым углом: перпендикулярные прямые. Ты узнаешь, почему вертикальные углы всегда равны, почему смежные в сумме дают 180° и как строят прямые углы на местности. Это завершает главу 1! 🎉

🌾 Блок 1. Изучение (15–20 мин)

🪝 Разминка: Перекрёсток и рамка

Посмотри на перекрёсток двух дорог сверху: четыре угла между дорогами. Если один из них прямой — перекрёсток «квадратный», все четыре угла по 90°. А углы напротив друг друга (через центр перекрёстка) всегда равны — даже если перекрёсток косой! 🚦

То же самое видно в углах картинной рамки: соседние углы рамки дополняют друг друга до развёрнутого угла, а противоположные — равны. Разберём, почему так выходит!

📖 Ключевые термины

Термин Что это? Как обозначаем
Смежные углы Два угла с общей стороной, а две другие стороны — дополнительные лучи (продолжения одна другой). ∠AOB и ∠BOC
Вертикальные углы Два угла, стороны одного — продолжения сторон другого. Получаются «напротив» при пересечении прямых. ∠1 и 3, ∠2 и 4
Перпендикулярные прямые Прямые, которые пересекаются под прямым углом (образуют четыре прямых угла). a ⊥ b
Прямой угол Угол в 90°; на чертеже отмечается квадратиком. 90°
Перпендикуляр Отрезок (или луч), проведённый из точки перпендикулярно данной прямой. AH ⊥ a
Эккер Прибор для построения прямых углов на местности: два бруска под прямым углом на треножнике с отвесом. —

📐 Графические иллюстрации

Смежные углы: сумма 180°

A O C B ∠1 ∠2 ∠1 + ∠2 = 180°

Рис. 1: Углы AOB и BOC смежные: сторона OB общая, а OA и OC — дополнительные лучи; вместе они дают развёрнутый угол

Вертикальные углы равны

∠1 ∠3 ∠2 ∠4 ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4

Рис. 2: При пересечении двух прямых вертикальные углы лежат «напротив» друг друга и равны; смежные пары (∠1 и ∠2, ∠2 и ∠3…) дают 180°

Перпендикулярные прямые: четыре прямых угла

a b a ⊥ b: все четыре угла по 90°

Рис. 3: Перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла; достаточно одного квадратика — остальные углы прямые автоматически

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются

P Q A A₁ B B₁ AA₁ ⊥ PQ и BB₁ ⊥ PQ → AA₁ и BB₁ не пересекаются

Рис. 4: Если бы прямые AA₁ и BB₁ пересеклись, из одной точки выходили бы два перпендикуляра к PQ — этого быть не может

Построение прямого угла на местности: эккер

A B O ЭККЕР (схема): ∠AOB = 90°

Рис. 5: Эккер: два бруска под прямым углом на треножнике; наводим один брусок на веху A — второй укажет направление OB под 90°

📐 Главные правила

🌟 Правило 1: Сумма смежных углов
Смежные углы в сумме дают 180°: их несоприкасающиеся стороны образуют развёрнутый угол.
∠1 + ∠2 = 180° (рис. 1). Отсюда: смежный с острым — тупой, смежный с прямым — прямой.
🌟 Правило 2: Вертикальные углы равны
∠1 = 3 и ∠2 = ∠4 (рис. 2).
Почему? ∠1 и ∠2 смежные: ∠1 = 180° − ∠2. ∠3 и ∠2 тоже смежные: ∠3 = 180° − ∠2. Значит, ∠1 = ∠3!
🌟 Правило 3: Перпендикулярные прямые
Прямые перпендикулярны, если при пересечении образуют четыре прямых угла: a ⊥ b.
Достаточно одного прямого угла: остальные три получаются сами (смежные и вертикальные).
🌟 Правило 4: Два перпендикуляра к третьей прямой
Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются между собой (рис. 4).
Почему? Иначе из точки их пересечения к третьей прямой шли бы два разных перпендикуляра — а такой угол «раздвоиться» не может.
🌟 Правило 5: Как строят перпендикуляр
На чертеже — чертёжным треугольником: один катет вдоль прямой, второй даёт направление перпендикуляра через нужную точку.
На местности — эккером или теодолитом (рис. 5).
⚠️ Важно запомнить:
• Смежные: одна сторона общая, другие — продолжения; сумма 180°
• Вертикальные: стороны одного — продолжения сторон другого; равны
• Если один из четырёх углов пересечения прямой — остальные три тоже прямые
• Знак ⊥ читается «перпендикулярна»

🛠 Блок 2. Закрепление (20–25 мин)

Задания из учебника (стр. 22–26). Решай в тетради с чертёжными инструментами. После выполнения открой подсказку и проверь себя!

№58 Базовый уровень

Задание: Начертите острый угол AOB и на продолжении луча OB отметьте точку D. Сравните углы AOB и AOD.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Лучи OB и OD — дополнительные, значит углы AOB и AOD смежные.
Шаг 2: ∠AOB + ∠AOD = 180°. Угол AOB острый (< 90°), значит ∠AOD = 180° − ∠AOB > 90° — тупой.

Ответ: ∠AOB < ∠AOD (острый меньше тупого).

Проверка: пример: ∠AOB = 50° → ∠AOD = 130°; 50° < 130° ✓

№59 Базовый уровень

Задание: Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них начертите смежный угол.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Начерти острый угол (например, 50°). Продли одну сторону за вершину — получишь смежный угол: 180° − 50° = 130° (тупой).
Шаг 2: Начерти прямой угол (90°, с квадратиком). Смежный с ним: 180° − 90° = 90° — тоже прямой.
Шаг 3: Начерти тупой угол (например, 120°). Смежный: 180° − 120° = 60° — острый.

Вывод: смежный с острым — тупой; смежный с прямым — прямой; смежный с тупым — острый.

№60 Средний уровень

Задание: Начертите неразвёрнутый угол hk. Постройте угол h₁k₁, вертикальный углу hk.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Начерти угол hk с вершиной O.
Шаг 2: Продли луч h за вершину — получишь луч h₁; продли луч k за вершину — получишь луч k₁.
Шаг 3: Угол h₁k₁ образован продолжениями сторон угла hk — значит, он вертикальный углу hk.

Проверка: измерь оба угла транспортиром: ∠hk = ∠h₁k₁ (вертикальные равны). Заодно углы h₁k и hk₁ тоже вертикальны между собой.

№61 Средний уровень

Задание: Начертите неразвёрнутый угол MON и отметьте точку P внутри угла и точку Q вне его. С помощью чертёжного угольника и линейки через точки P и Q проведите прямые, перпендикулярные прямым OM и ON.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Начерти угол MON, отметь P внутри и Q снаружи.
Шаг 2: Перпендикуляр из P к OM: приложи катет угольника к прямой OM, придвинь линейку ко второму катету, сдвинь угольник вдоль линейки до точки P и проведи прямую.
Шаг 3: Тем же приёмом проведи перпендикуляр из P к ON.
Шаг 4: Повтори оба построения для точки Q.

Итог: четыре прямые: через P и через Q, каждая перпендикулярна OM или ON. Отметь прямые углы квадратиками.

№62 Продвинутый уровень

Задание: Найдите угол, смежный с углом ABC, если:
а) ∠ABC = 111°; б) ∠ABC = 90°; в) ∠ABC = 15°.

💡 Проверить решение
Правило: смежный угол = 180° − данный.

а) 180° − 111° = 69°.

б) 180° − 90° = 90° (прямой).

в) 180° − 15° = 165°.

Проверка: в каждом пункте сумма двух углов равна 180° ✓

№63 Продвинутый уровень

Задание: Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, тупым) является другой угол?

💡 Проверить решение
Другой угол = 180° − 90° = 90°.

Ответ: прямой.

Вывод: если один из смежных углов прямой, то и второй прямой — стороны углов перпендикулярны!

№64 Продвинутый уровень

Задание: Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?

💡 Проверить решение
Пусть каждый смежный угол равен x. Тогда x + x = 180° → 2x = 180° → x = 90°.

Ответ: да, верно: равные смежные углы — прямые.

№65 Продвинутый уровень

Задание: Найдите смежные углы hk и kl, если:
а) ∠hk меньше ∠kl на 40°; б) ∠hk больше ∠kl на 120°; в) ∠hk больше ∠kl на 47°18′; г) ∠hk = 3∠kl; д) ∠hk : ∠kl = 5 : 4.

💡 Проверить решение
Основа: ∠hk + ∠kl = 180°.

а) x + (x + 40°) = 180° → 2x = 140° → x = 70°. Ответ: 70° и 110°.

б) (x + 120°) + x = 180° → 2x = 60° → x = 30°. Ответ: 150° и 30°.

в) (x + 47°18′) + x = 180° → 2x = 179°60′ − 47°18′ = 132°42′ → x = 66°21°. Ответ: 113°39′ и 66°21′.

г) 3x + x = 180° → 4x = 180° → x = 45°. Ответ: 135° и 45°.

д) 5x + 4x = 180° → 9x = 180° → x = 20°. Ответ: 100° и 80°.

Проверка: во всех пунктах сумма двух ответов равна 180° ✓

📚 Дополнительные задачи для практики

№66 Дополнительная практика

Задание: На рисунке 52 углы BOD и COD равны. Найдите угол AOD, если ∠COB = 148°.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Луч OD проходит внутри угла COB, значит ∠COB = ∠COD + ∠DOB = 2∠DOB (углы равны).
Шаг 2: ∠DOB = 148° : 2 = 74°.
Шаг 3: Точки A, O, B на одной прямой, значит ∠AOD и ∠DOB смежные: ∠AOD = 180° − 74° = 106°.

Ответ: ∠AOD = 106°.

Проверка: ∠AOC = 180° − 148° = 32°; ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 32° + 74° = 106° ✓

№67 Дополнительная практика

Задание: Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?

💡 Проверить решение
Пусть ∠1 = ∠2 = x. Смежный с ∠1 равен 180° − x; смежный с ∠2 тоже 180° − x.

Ответ: да, равны: оба смежных угла равны 180° − x.

№68 Дополнительная практика

Задание: Найдите изображённые на рисунке 47 углы:
а) ∠1, ∠3, ∠4, если ∠2 = 117°; б) ∠1, ∠2, ∠4, если ∠3 = 43°27′.

💡 Проверить решение
Схема рисунка: углы 1, 2, 3, 4 идут по кругу вокруг точки пересечения: вертикальные пары (1, 3) и (2, 4); соседние — смежные.

а) ∠2 = 117°:

∠1 = 180° − 117° = 63° (смежный с ∠2); ∠3 = 180° − 117° = 63° (смежный с ∠2); 4 = ∠2 = 117° (вертикальный).

Ответ: ∠1 = 63°, ∠3 = 63°, ∠4 = 117°.

б) ∠3 = 43°27′:

∠1 = 3 = 43°27′ (вертикальный); ∠2 = 180° − 43°27′ = 179°60′ − 43°27′ = 136°33′; ∠4 = ∠2 = 136°33′.

Ответ: ∠1 = 43°27′, ∠2 = 136°33′, ∠4 = 136°33′.

№69 Дополнительная практика

Задание: Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если:
а) сумма двух из них равна 114°; б) сумма трёх углов равна 220°.

💡 Проверить решение

а)

Два смежных угла в сумме дают 180° ≠ 114°, значит взяты два вертикальных (равных) угла: 2x = 114° → x = 57°.
Смежные с ними: 180° − 57° = 123°.

Ответ: 57°, 123°, 57°, 123°.

б)

Пусть углы по кругу: ∠1, ∠2, 3, ∠4, где ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4. Сумма трёх: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 220°.
Так как ∠1 + ∠2 = 180° (смежные), то 180° + ∠3 = 220° → ∠3 = 40°; тогда ∠1 = 40°, ∠2 = ∠4 = 140°.

Ответ: 40°, 140°, 40°, 140°.

Проверка: 40 + 140 + 40 = 220 ✓; 57 + 57 = 114 ✓

💡 Методическая подсказка