Привет! 👋 Сегодня научимся измерять углы в градусах — как измерять отрезки, только меряем «поворот»! Ты узнаешь, что такое градусная мера, как пользоваться транспортиром, какие бывают виды углов и почему луч, делящий угол, складывает градусные меры частей. Поехали! 🧭
🌾 Блок 1. Изучение (15–20 мин)
🪝 Разминка: Повороты вокруг нас
Представь, что ты стоишь лицом к дому и поворачиваешься:
🔄 направо до упора — это поворот на 90° (прямой угол);
🔄 кругом — на 180° (развёрнутый угол);
🔄 полный оборот вокруг себя — на 360°.
Градус — это мера поворота. Осталось понять, откуда он взялся и как его измерять инструментом! 📏
📖 Ключевые термины
Термин
Что это?
Как обозначаем
Градус
Единица измерения углов: 1/180 часть развёрнутого угла.
1°
Градусная мера угла
Число, показывающее, сколько градусов (и их долей) укладывается в угле.
∠AOB = 120°
Транспортир
Прибор для измерения и построения углов: полукруглая шкала с делениями от 0° до 180° и центром.
Прибор для измерения углов на местности: диск с делениями и вращающаяся линейка (алидада).
—
📐 Графические иллюстрации
Транспортир: измеряем угол 40°
Рис. 1: Центр транспортира совмещён с вершиной O, одна сторона идёт по нулевой линии; вторая сторона указывает точно на деление 40 — значит, угол равен 40°
Виды углов по величине
Рис. 2: Четыре вида углов; прямой угол обозначают квадратиком, развёрнутый выглядит как прямая линия
Луч делит угол: градусные меры складываются
Рис. 3: Луч OC делит угол AOB: ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, то есть 60° + 40° = 100°
Доли градуса: минуты и секунды
Рис. 4: Для точности градус делят на 60 минут, минуту — на 60 секунд (как час!)
Измерение углов на местности: астролябия
Рис. 5: Астролябия: диск с градусными делениями и вращающаяся линейка-алидада позволяют измерять углы между направлениями на местности
📐 Главные правила
🌟 Правило 1: Откуда берётся градус
Градус — это 1/180 часть развёрнутого угла. Поэтому развёрнутый угол = 180°, прямой = 90°.
Градусная мера угла показывает, сколько градусов укладывается в угле.
🌟 Правило 2: Как измерять транспортиром
1) Совмести вершину угла с центром транспортира.
2) Одну сторону угла направь по нулевой линии шкалы.
3) Посмотри, на какое деление указывает вторая сторона — это и есть градусная мера.
Следи, с какой шкалы читать: у транспортира две шкалы (внутренняя и внешняя)!
🌟 Правило 3: Виды углов
Острый < 90°; прямой = 90°; тупой — от 90° до 180°; развёрнутый = 180°.
Равные углы имеют равные градусные меры; из двух углов больше тот, у которого градусная мера больше.
🌟 Правило 4: Градусная мера и деление угла
Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер частей: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB (рис. 3). Это «свойство частей» из §4, но для градусов!
🌟 Правило 5: Минуты и секунды
1° = 60′, 1′ = 60″. При сложении: если минут набралось 60 и больше — переведи их в градусы (62′ = 1°2′).
⚠️ Важно запомнить:
• Неразвёрнутый угол всегда меньше 180°
• Любые два развёрнутых угла равны (по 180°)
• Прямой угол обозначают квадратиком на чертеже
• На местности углы измеряют астролябией (и более точными приборами)
🛠 Блок 2. Закрепление (20–25 мин)
Задания из учебника (стр. 15–20). Решай в тетради с транспортиром. После выполнения открой подсказку и проверь себя!
№45 Базовый уровень
Задание: Начертите три неразвёрнутых угла и один развёрнутый угол и обозначьте их так: ∠AOB, ∠CDE, ∠hk и ∠MNP. С помощью транспортира измерьте углы и запишите результаты измерений.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Начерти три любых неразвёрнутых угла и один развёрнутый (прямая с точкой-вершиной посередине).
Шаг 2: Обозначь их ∠AOB, ∠CDE, ∠hk, MNP (развёрнутый — например, ∠MNP).
Шаг 3: Измерь каждый транспортиром: вершина — в центр, одна сторона — по нулю, читай деление второй стороны.
Шаг 2: Чтобы OA была биссектрисой угла BOC, нужно ∠AOC = ∠AOB = x, причём луч OC — по другую сторону от OA, чем OB.
Шаг 3: Отложи от луча OA в противоположную от OB сторону угол x — получишь луч OC.
Ответ:да, выполнимо всегда: для любого неразвёрнутого угла AOB можно построить «зеркальный» луч OC.
Особый случай: если ∠AOB = 90°, то луч OC окажется продолжением луча OB: угол BOC развёрнутый, и OA — его биссектриса (перпендикуляр к прямой).
№49 Продвинутый уровень
Задание: На рисунке 43 изображены лучи с общим началом O.
а) Найдите градусные меры углов AOX, BOX, AOB, COB, DOX;
б) назовите углы, равные 30°;
в) назовите все углы со стороной OA и найдите их градусные меры.
💡 Проверить решение
Метод (а): измерь транспортиром «базовые» углы рисунка между соседними лучами; затем составляй нужные углы как сумму соседних (правило 4). Например, ∠AOB = ∠AOX − ∠BOX, если луч OX проходит вне угла AOB, или сумму — если внутри.
Метод (б): переberi измеренные и составленные углы и выпиши те, чья мера равна 30°.
Метод (в): углы со стороной OA — это пары (OA, каждый другой луч): ∠AOB, ∠AOC, ∠AOD, ∠AOX… Их меры находятся суммированием соседних углов от OA до нужного луча.
Важно: числовые ответы зависят от рисунка 43 в твоём учебнике — измерь базовые углы сама и сложи по правилу суммы частей. Способ работает для любого набора лучей!
Если сбивает шкала транспортира: сначала определи, острый или тупой угол ты измеряешь, — и читай то число, которое подходит по виду угла (острый < 90, тупой > 90).
Для запоминания: градусы и минуты работают как часы: 60′ = 1°, 60″ = 1′.
В задачах с уравнениями: обозначай меньший угол за x и не забывай проверку «сумма частей = целое».
Красивая связь: свойство «часть + часть = целое» работает и для длин отрезков (§4), и для градусов углов (§5) — это одна и та же идея!