⚖️ Сравнение отрезков и углов

Геометрия 7 класс • Глава 1, §3 • Страницы 12–16

Привет! 👋 Сегодня научимся сравнивать отрезки и углы без всяких измерений — методом наложения! Ты узнаешь, какие фигуры называются равными, что такое середина отрезка и биссектриса угла, и почему часть всегда меньше целого. 🔍

🌾 Блок 1. Изучение (15–20 мин)

🪝 Разминка: Как сравнить без линейки?

Представь, что у тебя есть две палочки разной длины, но нет линейки. Как узнать, какая длиннее? Правильно — наложить их друг на друга: совместить концы и посмотреть на вторые концы! Совпали — палочки равны, один конец выступает — эта палочка длиннее.

В геометрии мы делаем то же самое мысленно: этот способ называется наложением. 📏

📖 Ключевые термины

Термин Что это? Как обозначаем
Равные фигуры Фигуры одинаковой формы и одинакового размера: их можно совместить наложением. AB = CD, ∠1 = ∠2
Наложение Способ сравнения фигур: одну фигуру мысленно (или копией на кальке) накладывают на другую. —
Середина отрезка Точка, делящая отрезок пополам — на два равных отрезка. AC = CB, C — середина AB
Биссектриса угла Луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла. ∠hl = ∠lk, луч l — биссектриса ∠hk
Часть фигуры Если одна фигура составляет часть другой, то она меньше этой фигуры. AC < AB, ∠1 < ∠2

📐 Графические иллюстрации

Сравнение отрезков наложением

A = C B D AB < CD

Рис. 1: Концы A и C совместили; конец B оказался внутри отрезка CD, значит AB составляет часть CD и AB < CD

Середина отрезка

A C — середина B AC = CB (засечки одинарные — половины равны)

Рис. 2: Точка C — середина отрезка AB: она делит его на два равных отрезка AC и CB

Сравнение углов наложением: ∠1 < ∠2

До наложения ∠1 ∠2 → После наложения ∠1 ∠2 ∠1 < ∠2

Рис. 3: Совместили вершины и одну сторону; вторая сторона угла 1 оказалась внутри угла 2 — значит, ∠1 составляет часть ∠2 и 1 < ∠2

Сравнение равных углов наложением: ∠1 = ∠2

До наложения ∠1 ∠2 → После наложения O A = C B = D углы совпали: ∠1 = ∠2

Рис. 4: При наложении совместились и вершины, и обе пары сторон — углы равны

Биссектриса угла

O k h l ∠1 ∠2

Рис. 5: Луч l исходит из вершины и делит угол hk на два равных угла: ∠1 = ∠2, значит l — биссектриса

Развёрнутый угол больше неразвёрнутого

O развёрнутый угол неразвёрнутый угол неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого → он меньше

Рис. 6: Любой неразвёрнутый угол меньше развёрнутого; любые два развёрнутых угла равны

📐 Главные правила

🌟 Правило 1: Равенство фигур
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Что это значит? Представь копию фигуры на кальке: если её можно переместить и полностью накрыть вторую фигуру — фигуры равны.
🌟 Правило 2: Сравнение отрезков наложением
Наложим отрезки так, чтобы конец одного совместился с концом другого.
• Вторые концы совпали → отрезки равны.
• Не совпали → меньше тот, который составляет часть другого (рис. 1).
🌟 Правило 3: Сравнение углов наложением
Наложим углы так, чтобы вершины совпали, одна сторона первого угла совместилась со стороной второго, а две другие стороны оказались по одну сторону от совпавших.
• Другие стороны совпали → углы равны (рис. 4).
• Не совпали → меньше тот угол, который составляет часть другого (рис. 3).
🌟 Правило 4: Середина и биссектриса
Середина отрезка — точка, делящая отрезок на два равных отрезка.
Биссектриса угла — луч из вершины, делящий угол на два равных угла.
Это «родственники»: оба делят фигуру пополам!
🌟 Правило 5: Часть и целое
Если фигура составляет часть другой фигуры, то она меньше её.
Отсюда: развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого (неразвёрнутый — его часть), а любые два развёрнутых угла равны.
⚠️ Важно запомнить:
• Равные фигуры совпадают при наложении — это определение равенства
• Середина делит отрезок на два равных отрезка; биссектриса — угол на два равных угла
• Часть всегда меньше целого!
• Угол и его внутренняя область вместе тоже называются углом

🛠 Блок 2. Закрепление (20–25 мин)

Задания из учебника (стр. 15–16). Решай в тетради. После выполнения открой подсказку и проверь себя!

№21 Базовый уровень

Задание: На луче с началом O отмечены точки A, B и C так, что точка B лежит между точками O и A, а точка A — между точками O и C. Сравните отрезки OB и OA, OC и OA, OB и OC.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Нарисуй луч с началом O и расставь точки по порядку: O → B → A → C.
Шаг 2: OB и OA: точка B между O и A, значит OB — часть OA.

Ответ: OB < OA.

Шаг 3: OC и OA: точка A между O и C, значит OA — часть OC.

Ответ: OA < OC.

Шаг 4: OB и OC: OB — часть OA, а OA — часть OC, значит OB — часть OC.

Ответ: OB < OC.

Итог: OB < OA < OC.

№22 Базовый уровень

Задание: Точка O является серединой отрезка AB. Можно ли совместить наложением отрезки: а) OA и OB; б) OA и AB?

💡 Проверить решение

а) OA и OB:

O — середина AB, значит OA = OB (равные отрезки).
Равные отрезки совмещаются наложением (совмести конец O с концом O — вторые концы совпадут).

Ответ: да, можно.

б) OA и AB:

AB состоит из двух половин: AB = AO + OB = 2·OA.
OA — часть AB, значит OA < AB: при наложении конец A отрезка OA окажется внутри AB.

Ответ: нет, нельзя.

№23 Средний уровень

Задание: На рисунке 30 отрезки AB, BC, CD и DE равны. Укажите:
а) середины отрезков AC, AE и CE;
б) отрезок, серединой которого является точка D;
в) отрезки, серединой которых является точка C.

💡 Проверить решение
Дано: точки A, B, C, D, E на одной прямой; AB = BC = CD = DE (обозначим длину одной части за 1).

а) Середины отрезков:

AC = 2 части; точка B делит его на AB = 1 и BC = 1 → B — середина AC.
AE = 4 части; точка C делит его на AC = 2 и CE = 2 → C — середина AE.
CE = 2 части; точка D делит его на CD = 1 и DE = 1 → D — середина CE.

б) Отрезок с серединой D:

D делит пополам отрезок CE (CD = DE = 1).

Ответ: CE.

в) Отрезки с серединой C:

C делит пополам AE (AC = CE = 2) и BD (BC = CD = 1).

Ответ: AE и BD.

№24 Средний уровень

Задание: Луч OC делит угол AOB на два угла. Сравните углы AOB и AOC.

💡 Проверить решение
Шаг 1: Луч OC проходит внутри угла AOB, поэтому угол AOC — часть угла AOB.
Шаг 2: Часть меньше целого.

Ответ: ∠AOC < ∠AOB (то есть ∠AOB > ∠AOC).

Проверка наложением: совмести вершины и сторону OA — сторона OC угла AOC окажется внутри угла AOB.

№25 Продвинутый уровень

Задание: Луч l — биссектриса угла hk. Можно ли наложением совместить углы: а) hl и lk; б) hl и hk?

💡 Проверить решение
Дано: луч l — биссектриса угла hk, значит ∠hl = ∠lk (две равные половины).

а) Углы hl и lk:

Это равные углы, а равные фигуры совмещаются наложением.

Ответ: да, можно.

б) Углы hl и hk:

Угол hl — половина угла hk, то есть его часть: ∠hl < ∠hk.
При наложении (вершина и сторона h совпадают) сторона l окажется внутри угла hk — совпадения не будет.

Ответ: нет, нельзя.

№26 Продвинутый уровень

Задание: На рисунке 31 углы, обозначенные цифрами, равны. Укажите:
а) биссектрису каждого из углов AOC, BOF, AOE;
б) все углы, биссектрисой которых является луч OC. Сравните углы BOC и AOD.

💡 Проверить решение
Дано (рисунок 31): лучи OA, OB, OC, OD, OE, OF выходят из точки O по порядку; углы между соседними лучами равны: ∠1 = ∠AOB, ∠2 = BOC, ∠3 = ∠COD, ∠4 = DOE, ∠5 = ∠EOF.

а) Биссектрисы:

∠AOC = ∠1 + ∠2; луч OB делит его на ∠1 и ∠2 — равные части → OB — биссектриса ∠AOC.
∠BOF = ∠2 + 3 + ∠4 + 5; луч OD делит его на ∠2 + ∠3 и ∠4 + 5 — по два равных угла с каждой стороны → OD — биссектриса ∠BOF.
∠AOE = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4; луч OC делит его на ∠1 + 2 и ∠3 + 4 — равные части → OC — биссектриса ∠AOE.

б) Углы, биссектрисой которых является луч OC:

Ищем углы, которые луч OC делит пополам: ∠AOE (половины ∠1+∠2 и ∠3+∠4) и ∠BOD (половины ∠2 и ∠3).

Ответ: ∠AOE и ∠BOD.

Сравнение ∠BOC и ∠AOD:

∠BOC = ∠2 (один равный угол); ∠AOD = ∠1 + ∠2 + ∠3 (три таких угла).

Ответ: ∠BOC < ∠AOD.

💡 Методическая подсказка