Привет! 👋 Продолжаем изучать геометрические фигуры. Сегодня познакомимся с лучом и углом — следующими важными фигурами после точки, прямой и отрезка. Ты узнаешь, как точка «разрезает» прямую на два луча и как углы делят плоскость! 🌟
🌾 Блок 1. Изучение (15–20 мин)
🪝 Разминка: Луч фонарика
Представь, что в тёмной комнате ты включаешь фонарик. Свет выходит из одной точки (лампочки) и бежит в одном направлении — без конца! В геометрии такая фигура называется лучом: у него есть начало, но нет конца. 🔦
А если направить два луча из одной точки — получится угол, как раскрытая книга или ножницы. Сегодня разберём обе фигуры по полочкам!
📖 Ключевые термины
Термин
Что это?
Как обозначаем
Луч
Часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца: продолжается бесконечно в одну сторону.
Малая буква: h, k; или две большие: OA (первая — начало)
Начало луча
Точка, от которой начинается луч (точка O делит прямую на два луча с началом O).
Точка O
Угол
Фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
∠hk, ∠AOB, ∠O
Стороны угла
Лучи, из которых состоит угол.
Лучи h и k; или OA и OB
Вершина угла
Общее начало сторон угла.
Точка O
Развёрнутый угол
Угол, у которого обе стороны лежат на одной прямой: каждая сторона — продолжение другой.
∠AOB, если A, O, B на одной прямой
Внутренняя область угла
Одна из двух частей плоскости, на которые неразвёрнутый угол её разделяет («внутри угла»).
—
Внешняя область угла
Другая часть плоскости («вне угла»).
—
📐 Графические иллюстрации
Луч
Рис. 1: Луч OA имеет начало в точке O и продолжается бесконечно в сторону точки A (стрелка показывает бесконечность)
Точка делит прямую на два луча
Рис. 2: Точка O на прямой — начало двух лучей OA и OB; такие лучи называются дополнительными друг к другу
Угол и его элементы
Рис. 3: Угол AOB: вершина O, стороны — лучи OA и OB. Дуга между сторонами показывает сам угол
Развёрнутый угол
Рис. 4: Развёрнутый угол AOB: его стороны — дополнительные лучи OA и OB, то есть одна прямая
Внутренняя и внешняя области угла
Рис. 5: Точки A, B, C лежат внутри угла (во внутренней области); D, E — на сторонах; P, Q — вне угла (во внешней области)
Луч из вершины внутри угла делит угол на два угла
Рис. 6: Луч OC исходит из вершины и проходит внутри угла AOB, поэтому делит его на два угла: ∠AOC и ∠COB
📐 Главные правила
🌟 Правило 1: Луч получается из прямой
Точка O на прямой делит её на два луча с общим началом O. У луча есть начало, но нет конца! Что это значит? Луч «смотрит» только в одну сторону от точки O — как свет фонарика от лампочки.
🌟 Правило 2: Обозначение луча
Луч обозначают двумя буквами: первая — начало луча, вторая — любая точка на луче.
Пример: луч OA — начало в точке O. Порядок букв важен: запись «луч AO» означала бы другой луч (с началом A)!
🌟 Правило 3: Угол и три способа его обозначить
Угол — это точка (вершина) и два луча (стороны) из неё. Обозначения:
• ∠hk — по сторонам (малыми буквами);
• ∠AOB — по трём точкам: вершина O в середине, A и B — на сторонах;
• ∠O — только по вершине, если других углов с той же вершиной нет и путаницы не возникнет.
🌟 Правило 4: Развёрнутый угол
Угол развёрнутый, если обе его стороны лежат на одной прямой (каждая сторона — продолжение другой).
Для развёрнутого угла любую из двух частей плоскости можно считать внутренней областью.
🌟 Правило 5: Луч внутри угла делит его
Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри него, то он делит угол на два угла (рис. 6).
Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, тоже называют углом.
⚠️ Важно запомнить:
• У луча есть начало, но нет конца; у отрезка есть оба конца; у прямой нет ни одного
• Неразвёрнутый угол делит плоскость ровно на две области: внутреннюю и внешнюю
• Точка может лежать внутри угла, на сторонах или вне угла
• Луч делит угол на два угла только если проходит внутри него
🛠 Блок 2. Закрепление (20–25 мин)
Задания из учебника (стр. 11). Решай в тетради, используя линейку. После выполнения открой подсказку и проверь себя!
№11 Базовый уровень
Задание: Проведите прямую, отметьте на ней точки A и B и на отрезке AB отметьте точку C.
а) Среди лучей AB, BC, CA, AC и BA назовите совпадающие лучи;
б) Назовите луч, который является продолжением луча CA.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Нарисуй прямую и отметь точки в порядке A — C — B (точка C между A и B, значит C на отрезке AB).
а) Совпадающие лучи:
Луч AB: начало A, направление в сторону B (вправо). Луч AC: начало A, направление в сторону C — тоже вправо. Начало одно, направление одно → совпадают.
Луч BC: начало B, направление в сторону C (влево). Луч BA: начало B, направление в сторону A — тоже влево. Совпадают.
Луч CA (начало C, влево) ни с кем из списка не совпадает: у остальных либо другое начало, либо другое направление.
Ответ:AB и AC; BC и BA.
б) Продолжение луча CA:
Луч CA начинается в C и идёт влево. Продолжение — луч с тем же началом C, направленный в противоположную сторону (вправо): это луч CB.
Ответ:луч CB (лучи CA и CB — дополнительные).
№12 Базовый уровень
Задание: Начертите три неразвёрнутых угла и обозначьте их так: ∠AOB, ∠hk, ∠M.
💡 Проверить решение
Угол 1: поставь точку O, проведи из неё два луча (не на одной прямой!). Отметь на лучах точки A и B. Подпиши: ∠AOB.
Угол 2: нарисуй ещё один угол и подпиши его стороны малыми буквами h и k. Запиши: ∠hk.
Угол 3: нарисуй третий угол и подпиши вершину буквой M. Запиши: ∠M (здесь одна вершина — путаницы нет).
Проверка: все три угла неразвёрнутые — их стороны не лежат на одной прямой.
№13 Средний уровень
Задание: Начертите два развёрнутых угла и обозначьте их буквами.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Проведи прямую и отметь на ней точку O — это вершина.
Шаг 2: Отметь точки A и B по разные стороны от O. Угол AOB — развёрнутый: стороны OA и OB на одной прямой.
Шаг 3: Повтори с другой прямой: вершина P, точки C и D по разные стороны. Получился развёрнутый угол CPD (или ∠hk, если назвать лучи h и k).
Проверка: в каждом угле стороны — дополнительные лучи (одна прямая через вершину).
№14 Средний уровень
Задание: Начертите три луча h, k и l с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Поставь точку O и проведи из неё три луча «веером» (никие два не на одной прямой). Подпиши их h, k, l.
Шаг 2: Угол образует каждая пара лучей. Перечисли пары: (h, k), (k, l), (h, l).
Ответ:3 угла: ∠hk, ∠kl, ∠hl.
Почему? Пар из трёх лучей ровно три — как три рукопожатия у троих друзей.
№15 Продвинутый уровень
Задание: Начертите неразвёрнутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Нарисуй угол с вершиной O и сторонами h и k.
Шаг 2: Внутри (между сторонами) поставь точки A и B.
Шаг 3: Вне угла (за сторонами, «сзади» или «сбоку») поставь точки P и Q.
Шаг 4: На самих лучах h и k поставь точки C и D.
Проверка: соедини O с точкой A воображаемым лучом — он проходит внутри угла; луч OP вышел бы за стороны.
№16 Продвинутый уровень
Задание: Начертите неразвёрнутый угол. Отметьте точки A, B, M и N так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла.
💡 Проверить решение
Шаг 1: Нарисуй неразвёрнутый угол с вершиной O.
Шаг 2: Поставь A и B внутри угла подальше от сторон и соедини отрезком AB — тогда весь отрезок окажется внутри.
Шаг 3: Поставь M и N вне угла (удобно — по разные стороны от угла) и соедини отрезком MN.
Шаг 4: Проверь: отрезок MN не должен пересекать стороны угла и не должен заходить внутрь.
Подсказка: если M и N стоят по разные стороны угла, отрезок MN пройдёт «за вершиной» — целиком вне угла.
№17 Продвинутый уровень
Задание: Начертите неразвёрнутый угол AOB и проведите:
а) луч OC, который делит угол AOB на два угла;
б) луч OD, который не делит угол AOC на два угла.
💡 Проверить решение
а)
Проведи луч OC из вершины O внутри угла AOB (между сторонами OA и OB). Тогда ∠AOB = ∠AOC + ∠COB: луч поделил угол на два.
б)
Проведи луч OD из вершины O вне угла AOC — например, за стороной OA. Луч не проходит внутри угла AOC, значит, не делит его.
Важно: луч делит угол на два угла только тогда, когда исходит из вершины и проходит внутри угла!
№18 Продвинутый уровень
Задание: Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении двух прямых?
💡 Проверить решение
Шаг 1: Нарисуй две пересекающиеся прямые, точку пересечения O.
Шаг 2: Прямые дают 4 луча с началом O («крест» из четырёх лучей).
Шаг 3: Соседние лучи образуют углы: их 4, и каждый неразвёрнутый (стороны не на одной прямой).
Ответ:4 неразвёрнутых угла.
Дополнение: если прямые перпендикулярны — все 4 угла прямые; иначе два острых и два тупых (попарно равных — об этом в §6).
№20 Продвинутый уровень
Задание: Какие из лучей, изображённых на рисунке 23, делят угол AOB на два угла?
💡 Проверить решение
Правило: луч делит угол AOB на два угла, если он исходит из вершины O и проходит внутри угла (между сторонами OA и OB).
Как рассуждать: рассмотри каждый луч рисунка 23. Луч внутри угла — делит; луч, совпадающий со стороной, или луч вне угла — не делит.
Ответ: те лучи рисунка 23, которые проходят внутри угла AOB (сравни со своим чертежом: внутренний луч даёт два угла, как луч OC на рис. 6).
Примечание: сверься с рисунком 23 в учебнике — рассуждение одинаково для любого набора лучей.
💡 Методическая подсказка
Если сложно представить: сложи два карандаша концами в одной точке — это модель угла; разводи их и смотри, как угол «раскрывается».
Для запоминания: луч — фонарик (начало есть, конца нет); угол — раскрытая книга (вершина в корешке, стороны — обложки).
Проверка: после чертежа спроси себя: у луча первая буква — начало? у угла в записи ∠AOB вершина O стоит посередине?
Важно: развёрнутый угол выглядит как прямая линия, но это всё равно угол: его стороны — дополнительные лучи.