🎯 Применение подобия к доказательству теорем

Геометрия 8 класс • Глава VIII, §3, пункты 69–73 • Средняя линия, замечательные точки, пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

🧠 Блок 1. Изучение нового материала

🌍 Разминка: где работает подобие?

Когда геодезист измеряет высоту столба по тени — это подобие. Когда архитектор проверяет, пересекаются ли три медианы в одной точке — это тоже подобие. Когда ты строишь бумажный самолётик и хочешь, чтобы его крылья были симметричны — и тут подобие! Сегодня покажем, как эта «маленькая идея» доказывает большие теоремы и решает практические задачи. 📐

📏 Часть 1. Средняя линия треугольника (пункт 69)

📖 Определение

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

🌟 Теорема о средней линии

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине

Доказательство: △BMN ~ △BAC по второму признаку (BM/BA = BN/BC = 1/2 и ∠B — общий). Значит MN ∥ AC и MN = AC/2.

Средняя линия треугольника

A C B M N MN ∥ AC MN = AC / 2

🌟 Следствие: медианы пересекаются в одной точке

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины. Эта точка называется центром масс (или центроидом) треугольника.

⭐ Часть 2. Четыре замечательные точки треугольника (пункт 70)

ТочкаЧто это?Где пересекаются?
Центр вписанной окружностиРавноудалена от всех сторонБиссектрисы углов
Центр описанной окружностиРавноудалена от всех вершинСерединные перпендикуляры к сторонам
Центр масс (центроид)Точка «балансировки» треугольникаМедианы (в отношении 2:1)
ОртоцентрПересечение высотВысоты (или их продолжения)

🌟 Теорема о высотах

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре.

Идея доказательства: через каждую вершину проводим прямую, параллельную противоположной стороне. Получаем большой треугольник, в котором исходный — средняя линия. Высоты исходного треугольника становятся серединными перпендикулярами большого → они пересекаются в одной точке.

📐 Часть 3. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (пункт 71)

🌟 Ключевой факт

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит его на два треугольника, подобных исходному (и подобных друг другу!).

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

A B C D a b b a h

△ABC ~ △ACD ~ △CBD — все три треугольника подобны по двум углам.

🌟 Среднее пропорциональное

Отрезок XY называется средним пропорциональным для отрезков AB и CD, если: XY = √(AB · CD).

Из подобия треугольников получаем два важных следствия:

1. h² = a · b (высота — среднее пропорциональное для отрезков гипотенузы)
2. b² = a · c (катет — среднее пропорциональное для гипотенузы и прилежащего отрезка)

📏 Часть 4. Метод подобия в задачах на построение (пункт 72)

Идея: сначала строим «вспомогательный» треугольник, подобный искомому (по части данных), а потом «растягиваем» его до нужного размера, используя оставшиеся данные.

🗺️ Часть 5. Подобие на местности (пункт 73)

🌟 Два классических применения

1. Измерение высоты предмета по тени: два прямоугольных треугольника (человек-тень и столб-тень) подобны по двум углам → высота столба = (рост человека) · (тень столба) / (тень человека).

2. Измерение расстояния до недоступной точки: строим на бумаге треугольник, подобный реальному (по двум углам и стороне), измеряем нужную сторону на чертеже и пересчитываем в масштаб.

🛠 Блок 2. Закрепление (задачи из учебника)

Сначала реши задачу в тетради, потом открой решение и проверь каждый шаг! ✍️

Базовый уровень

Задание 1 (№672)

Дан треугольник со сторонами 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Показать подробное решение
A B C M N K
Шаг 1: Каждая сторона нового треугольника — средняя линия исходного, значит равна половине соответствующей стороны.
Шаг 2: Стороны нового треугольника: 8/2 = 4 см; 5/2 = 2,5 см; 7/2 = 3,5 см.
Шаг 3: Периметр: 4 + 2,5 + 3,5 = 10 см.
Альтернатива: периметр нового треугольника = половина периметра исходного = (8 + 5 + 7) / 2 = 20 / 2 = 10 см ✅
Базовый уровень

Задание 2 (№674)

Точки P, Q и R — середины сторон AB, BC и AC треугольника ABC. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника PQR равен 21 см.

Показать подробное решение
Шаг 1: △PQR — треугольник из середин сторон, его стороны — средние линии △ABC.
Шаг 2: Каждая сторона △PQR в 2 раза меньше соответствующей стороны △ABC, значит периметр △PQR в 2 раза меньше периметра △ABC.
Шаг 3: P(ABC) = 2 · P(PQR) = 2 · 21 = 42 см.
Базовый уровень

Задание 3 (№673)

Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 22,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Показать подробное решение
A B C D O 22,5
Шаг 1: Точка O пересечения диагоналей прямоугольника — середина каждой диагонали, значит она равноудалена от обеих параллельных сторон.
Шаг 2: Расстояние от O до большей стороны AB = 22,5 см. Значит расстояние от O до меньшей стороны CD тоже 22,5 см (по свойству центра прямоугольника).
Шаг 3: Меньшая сторона BC = 2 · 22,5 = 45 см.
Средний уровень

Задание 4 (№676)

Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина стороны AB соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делит эту диагональ отрезок DM.

Показать подробное решение
A B C D M P Q
Шаг 1: M — середина AB. Пусть P и Q — точки пересечения DM с диагоналями AC и BD.
Шаг 2: O — точка пересечения диагоналей — середина каждой. Рассмотрим △ABO: M — середина AB, MP ∥ BO (так как P на AC, а BO — часть BD, а DM пересекает их) → P — середина AO.
Шаг 3: AO = AC/2 = 9 см, значит AP = AO/2 = 4,5 см. Тогда PQ = AO/2 = 4,5 см и QO = AO/2 = 4,5 см.
Шаг 4: Аналогично △ABD: M — середина AB, MQ ∥ AD → Q — середина OD. Значит QC = 3/4 · AC = 13,5 см.
Ответ: отрезки равны 6 см и 12 см (точка делит диагональ в отношении 1:2).
Средний уровень

Задание 5 (№677)

В треугольнике ABC медианы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABO равна S.

Показать подробное решение
Шаг 1: Точка O — центроид, делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины. Значит AO : OA₁ = 2 : 1.
Шаг 2: Треугольники ABO и A₁BO имеют общую высоту из B, их основания относятся как AO : OA₁ = 2 : 1. Значит S(A₁BO) = S/2.
Шаг 3: S(ABB₁) = S + S/2 = 3S/2. Медиана BB₁ делит △ABC пополам, но △ABB₁ — это 1/3 площади △ABC (так как все три «маленьких» треугольника от центроида равны).
Шаг 4: S(ABC) = 3 · S(ABB₁) = 3 · 3S/2 = 9S/2... Проверим: △ABO — это 1/6 площади △ABC (так как три медианы разбивают △ABC на 6 равных треугольников).
Ответ: S(ABC) = 6S.
Средний уровень

Задание 6 (№675)

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен их полуразности.

Показать доказательство
A D C B M N
Шаг 1: M — середина AC, N — середина BD. Рассмотрим △ACD: M — середина AC, проведём через M прямую, параллельную AD. Она пересечёт CD в её середине K (по свойству средней линии).
Шаг 2: В △BCD: N — середина BD, K — середина CD → NK — средняя линия → NK ∥ BC и NK = BC/2.
Шаг 3: Но MK ∥ AD и MK = AD/2. Значит M, N, K лежат на одной прямой, параллельной основаниям, и MN = MK − NK = AD/2 − BC/2 = (AD − BC)/2.
Вывод: MN ∥ AD ∥ BC и MN = (AD − BC) / 2. ✅
Продвинутый уровень

Задание 7 (№681)

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Показать подробное решение
Шаг 1: Пусть катеты 3x и 4x. По теореме Пифагора: (3x)² + (4x)² = 50² → 9x² + 16x² = 2500 → 25x² = 2500 → x² = 100 → x = 10.
Шаг 2: Катеты: 30 мм и 40 мм.
Шаг 3: Пусть высота делит гипотенузу на отрезки a и b (a — прилежащий к катету 30, b — к катету 40). По свойству: 30² = a · 50 → a = 900/50 = 18 мм.
Шаг 4: Аналогично: 40² = b · 50 → b = 1600/50 = 32 мм.
Ответ: 18 мм и 32 мм.
Проверка: 18 + 32 = 50 ✅
Продвинутый уровень

Задание 8 (№682)

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6 : 5.

Показать подробное решение
Шаг 1: Пусть катеты 6x и 5x, а отрезки гипотенузы — a и a + 11. Тогда гипотенуза c = 2a + 11.
Шаг 2: По свойству: (6x)² = a · c и (5x)² = (a + 11) · c. Делим: 36/25 = a/(a + 11).
Шаг 3: 36(a + 11) = 25a → 36a + 396 = 25a → 11a = −396? Перепроверим: пусть a — бо́льший отрезок (прилежащий к бо́льшему катету 6x). Тогда 36x² = a · c и 25x² = b · c, где a + b = c и a − b = 11.
Шаг 4: Делим: 36/25 = a/b. Пусть a = 36t, b = 25t. Тогда a − b = 11t = 11 → t = 1. Значит a = 36, b = 25.
Шаг 5: Гипотенуза c = a + b = 36 + 25 = 61 см.
Проверка: 36 − 25 = 11 ✅
Продвинутый уровень

Задание 9 (№683)

В треугольнике со сторонами 5 см, 12 см и 13 см проведена высота к большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

Показать подробное решение
Шаг 1: Проверим: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Значит треугольник прямоугольный, гипотенуза = 13 см — это и есть «большая сторона».
Шаг 2: Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит её на отрезки a и b, где a + b = 13.
Шаг 3: По свойству: 5² = a · 13 → a = 25/13 см. 12² = b · 13 → b = 144/13 см.
Ответ: 25/13 см и 144/13 см (≈ 1,92 см и ≈ 11,08 см).
Проверка: 25/13 + 144/13 = 169/13 = 13 ✅
Дополнительная задача

Задание 10 (№684)

Пользуясь утверждением пункта 71, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C выполняется равенство AC² + BC² = AB².

Показать доказательство
Шаг 1: Пусть CD — высота, проведённая из вершины C к гипотенузе AB. Обозначим AD = b₁, BD = a₁, тогда AB = b₁ + a₁ = c.
Шаг 2: По утверждению п. 71: AC² = AD · AB → AC² = b₁ · c. Аналогично: BC² = BD · AB → BC² = a₁ · c.
Шаг 3: Складываем: AC² + BC² = b₁c + a₁c = c(b₁ + a₁) = c · c = c² = AB².
Вывод: AC² + BC² = AB². Теорема Пифагора доказана! ✅
Дополнительная задача

Задание 11 (№685)

Для определения высоты столба использован метод с вращающейся планкой. Чему равна высота столба, если BC = 6,3 м, B₁C = 3,4 м, AC = 1,7 м?

Показать подробное решение
C B A A₁ AC = 1,7 CB = 6,3 A₁B₁ = ?
Шаг 1: △ACB ~ △A₁CB₁ (два прямых угла и общий угол при C).
Шаг 2: A₁B₁ / AB = CB₁ / CB. Но CB₁ = CB + B₁B... Уточним: по условию BC = 6,3 м — расстояние от планки до столба; B₁C = 3,4 м — расстояние от планки до наблюдателя; AC = 1,7 м — рост наблюдателя.
Шаг 3: Из подобия: A₁B₁ / AC = BC / B₁C → A₁B₁ = AC · BC / B₁C = 1,7 · 6,3 / 3,4 = 10,71 / 3,4 ≈ 3,15 м.
Шаг 4: Полная высота столба = A₁B₁ + AC = 3,15 + 1,7 = 4,85 м... Перепроверим: A₁B₁ / AC = BC / B₁C → A₁B₁ = 1,7 · 6,3 / 3,4 = 3,15. Высота столба = 3,15 + 1,7 = 4,85 м.
Ответ: 4,85 м (по решебнику — 3,15 м, если считать только надставку над уровнем глаз).
Дополнительная задача

Задание 12 (№686)

Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека ростом 1,7 м равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.

Показать подробное решение
Шаг 1: Солнечные лучи параллельны → два прямоугольных треугольника (человек-тень и дерево-тень) подобны по двум углам.
Шаг 2: Коэффициент подобия: k = 10,2 / 2,5 = 4,08.
Шаг 3: Высота дерева = рост человека · k = 1,7 · 4,08 = 6,936 м ≈ 6,94 м.
Проверка: 6,936 / 10,2 = 1,7 / 2,5 = 0,68 ✅
Дополнительная задача

Задание 13 (№688)

Для определения расстояния от точки A до недоступной точки B на местности выбрали точку C, измерили отрезок AC, углы при A и C. Затем построили на бумаге треугольник ABC, подобный треугольнику ABC. Найдите AB, если AC = 42 м, A₁C₁ = 6,3 см, A₁B₁ = 7,2 см.

Показать подробное решение
Шаг 1: △ABC ~ △A₁B₁C₁ по двум углам (∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁).
Шаг 2: Коэффициент подобия: k = AC / A₁C₁ = 42 м / 6,3 см = 4200 см / 6,3 см = 666,67... Но удобнее: AB / A₁B₁ = AC / A₁C₁.
Шаг 3: AB = A₁B₁ · (AC / A₁C₁) = 7,2 см · (42 м / 6,3 см) = 7,2 · 42 / 6,3 = 302,4 / 6,3 = 48 м... Перепроверим: 7,2 / 6,3 = 8/7. AB = 42 · 8/7 = 48 м.
Ответ: AB = 48 м.
Дополнительная задача

Задание 14 (№689)

На рисунке показано, как можно определить ширину реки: рассматривают два подобных треугольника ABC и AB₁C₁. Определите BB₁, если AC = 100 м, AC₁ = 32 м, AB = 34 м.

Показать подробное решение
Шаг 1: △ABC ~ △AB₁C₁ (два прямых угла и общий угол при A).
Шаг 2: AB₁ / AC₁ = AB / AC → AB₁ = AB · AC₁ / AC = 34 · 32 / 100 = 1088 / 100 = 10,88 м.
Шаг 3: BB₁ = AB − AB₁ = 34 − 10,88 = 23,12 м.
Ответ: BB₁ = 23,12 м.

⚖️ Задачи на доказательство (идеи)

№678 — выразите a и b через a, b и c
Идея: в прямоугольном треугольнике с высотой h, проведённой к гипотенузе c: a² = a₁ · c и b² = b₁ · c, где a₁ и b₁ — отрезки гипотенузы. Значит a = √(a₁ · c) и b = √(b₁ · c).
№679 — докажите, что h² = a · b
Идея: △ACD ~ △CBD (по двум углам). Значит AD/CD = CD/BD → CD² = AD · BD → h² = a · b.
№680 — докажите, что h = ab/c
Идея: площадь треугольника можно выразить двумя способами: S = ½ab = ½ch. Приравнивая: ab = ch → h = ab/c.
Задачи на построение (№690–696) — идеи
№690: разделить отрезок в данном отношении — по теореме Фалеса (откладываем на вспомогательном луче равные отрезки).
№692: строим произвольный треугольник с данными двумя углами, затем биссектрису третьего угла нужной длины, и «растягиваем» до нужного размера.
№693: аналогично, но вместо биссектрисы — высота.
№694: строим треугольник с данным углом и медианой, затем «растягиваем» до нужного отношения сторон.
№695: строим треугольник с данным углом и стороной, затем «растягиваем» до нужного отношения сторон.
№696: строим прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов — используем средний пропорциональный отрезок.

🏗 Блок 3. Практическое применение

🗺️ Продукт урока: «Геодезист: измерение ширины реки»

Ты стоишь на берегу реки и хочешь узнать её ширину, не переплывая. На противоположном берегу видно дерево A. Ты выбираешь на своём берегу точку C, отмеряешь AC = 50 м. Затем идёшь вдоль берега ещё 30 м до точки B. Из точки B смотришь на дерево A через планку и отмечаешь на своём берегу точку B₁ так, что A, C и B₁ лежат на одной прямой. Измеряешь BB₁ = 20 м.

Задача: найди ширину реки (расстояние от A до прямой BC).

Показать решение геодезиста
A (дерево) C B AC = 50 м CB = 30 м ширина реки
Шаг 1: △ACB и высота из A — это наш прямоугольный треугольник с высотой h (ширина реки).
Шаг 2: По теореме Пифагора для △AC(высота): h² + x² = 50², где x — расстояние от проекции A до C.
Шаг 3: Аналогично для △AB(высота): h² + (30 − x)² = AB².
Шаг 4: Но у нас нет AB! Используем подобие: △AC(проекция) ~ △AB(проекция) — нет, это не то. На самом деле: △ACA₁ ~ △BCB₁ (где A₁ — проекция A на берег). Значит h / 20 = 50 / 30 → h = 100/3 ≈ 33,3 м.
Итог: ширина реки ≈ 33 м. 🌊

📝 Главное, что нужно запомнить

💡 Методическая подсказка (для учителя или родителя)