🔺 Признаки подобия треугольников

Геометрия 8 класс • Глава VIII, §2, пункты 66–68 • Три признака подобия и их применения

🧠 Блок 1. Изучение нового материала

🌍 Разминка: как проверить подобие без измерений всех сторон?

В прошлом уроке мы узнали, что два треугольника подобны, если у них равны все три угла и пропорциональны все три стороны. Но проверять шесть равенств — долго! А что, если достаточно двух углов? Или двух сторон и угла между ними? Сегодня докажем три «коротких пути» к подобию — они работают как признаки равенства треугольников, только для подобия! 🗺️

📖 Ключевые термины

ТерминОпределение
Подобные треугольникиТреугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны.
Сходственные стороныСтороны, лежащие напротив равных углов.
Коэффициент подобия kОтношение сходственных сторон подобных треугольников.
Признак подобияДостаточное условие, по которому можно утверждать, что треугольники подобны (не проверяя все шесть равенств).

🔺 Признак 1: по двум углам (пункт 66)

🌟 Первый признак подобия

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

🔎 Доказательство первого признака

A B C B₂ C₂ Дано: ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ Построение: Отложим AB₂ = A₁B₁ на AB Проведём B₂C₂ ∥ BC △AB₂C₂ = △A₁B₁C₁ (по стороне и двум углам) △AB₂C₂ ~ △ABC (по свойству параллельных) Значит △A₁B₁C₁ ~ △ABC ✅

Строим внутри △ABC треугольник, равный △A₁B₁C₁. Параллельная прямая даёт пропорциональность сторон → подобие.

🔺 Признак 2: по двум сторонам и углу между ними (пункт 67)

🌟 Второй признак подобия

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Формулой: если AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ и ∠A = ∠A₁, то △ABC ~ △A₁B₁C₁.

🔎 Идея доказательства второго признака

A B C B₂ C₂ Дано: AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ и ∠A = ∠A₁ Построение: Отложим AB₂ = A₁B₁, AC₂ = A₁C₁ △AB₂C₂ = △A₁B₁C₁ (по двум сторонам и углу) B₂C₂ ∥ BC (по обратному утверждению теоремы Фалеса) Значит △A₁B₁C₁ ~ △ABC ✅

🔺 Признак 3: по трём сторонам (пункт 68)

🌟 Третий признак подобия

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Формулой: если AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁, то △ABC ~ △A₁B₁C₁.

🔎 Идея доказательства третьего признака

A B C B₂ C₂ Дано: AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁ Построение: Отложим AB₂ = A₁B₁, AC₂ = A₁C₁ △AB₂C₂ = △A₁B₁C₁ (по 3 сторонам) Тогда AB₂/AB = AC₂/AC = k и по условию B₂C₂/BC = k тоже Значит B₂C₂ ∥ BC (по признаку параллельности) Значит △A₁B₁C₁ ~ △ABC ✅

💡 Сравнение признаков подобия и равенства

ПодобиеРавенство (напоминание)
1 признак: 2 угла1 признак: сторона и 2 угла
2 признак: 2 стороны + угол между2 признак: 2 стороны + угол между
3 признак: 3 стороны3 признак: 3 стороны

Заметили? Признаки похожи, но для подобия «мягче»: не нужно равенства сторон, достаточно пропорциональности!

🛠 Блок 2. Закрепление (задачи из учебника)

Сначала реши задачу в тетради, потом открой решение и проверь каждый шаг по чертежу! ✍️

Базовый уровень

Задание 1 (№657)

По данным рисунка найдите x и y.

Показать подробное решение
8 6 x y A B C D E
Шаг 1: На рисунке DE ∥ AB (по меткам параллельности), значит △CDE ~ △CAB по первому признаку (∠C — общий, ∠CDE = ∠CAB как соответственные при параллельных).
Шаг 2: Коэффициент подобия: k = CD/CA = 6/(6 + 8) = 6/14 = 3/7.
Шаг 3: x = DE = AB · k. AB = 14 (по рисунку), значит x = 14 · 3/7 = 6.
Шаг 4: y = CE = CB · k. CB = 7 (по рисунку), значит y = 7 · 3/7 = 3.
Ответ: x = 6, y = 3.
Базовый уровень

Задание 2 (№666)

На одной из сторон данного угла A отложены отрезки AB = 5 см и AC = 16 см. На другой стороне того же угла отложены отрезки AD = 8 см и AF = 10 см. Подобны ли треугольники ACD и AFB?

Показать подробное решение
Шаг 1: В треугольниках ACD и AFB угол A — общий.
Шаг 2: Проверяем пропорциональность сторон, прилежащих к углу A:
AC/AF = 16/10 = 8/5;
AD/AB = 8/5.
Шаг 3: Отношения равны: AC/AF = AD/AB = 8/5, и углы между этими сторонами равны (∠A общий).
Ответ: треугольники ACD и AFB подобны по второму признаку подобия. ✅
Базовый уровень

Задание 3 (№667)

Подобны ли треугольники ABC и A₁B₁C₁, если: а) AB = 3 см, BC = 5 см, CA = 7 см, A₁B₁ = 4,5 см, B₁C₁ = 7,5 см, C₁A₁ = 10,5 см; б) AB = 1,7 см, BC = 3 см, CA = 4,2 см, A₁B₁ = 34 мм, B₁C₁ = 60 мм, C₁A₁ = 84 мм?

Показать подробное решение
а) Проверяем пропорциональность сторон:
AB/A₁B₁ = 3/4,5 = 2/3;
BC/B₁C₁ = 5/7,5 = 2/3;
CA/C₁A₁ = 7/10,5 = 2/3.
Все три отношения равны → треугольники подобны по третьему признаку. ✅
б) Приводим к одним единицам: 34 мм = 3,4 см; 60 мм = 6 см; 84 мм = 8,4 см.
AB/A₁B₁ = 1,7/3,4 = 1/2;
BC/B₁C₁ = 3/6 = 1/2;
CA/C₁A₁ = 4,2/8,4 = 1/2.
Все три отношения равны → треугольники подобны. ✅
Ответ: а) подобны (k = 2/3); б) подобны (k = 1/2).
Базовый уровень

Задание 4 (№668)

Докажите, что любые два равносторонних треугольника подобны.

Показать доказательство
Шаг 1: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Значит у любых двух равносторонних треугольников три угла соответственно равны: ∠A = ∠A₁ = 60°, ∠B = ∠B₁ = 60°, ∠C = ∠C₁ = 60°.
Вывод: по первому признаку подобия (по двум углам — а тут даже по трём!) любые два равносторонних треугольника подобны. ✅
Средний уровень

Задание 5 (№659)

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке O. Найдите: а) AB, если OB = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см; б) AO и OD, если AB = a, DC = b.

Показать подробное решение
AB DC A B C D O
Шаг 1: △AOB ~ △COD по первому признаку: ∠AOB = ∠COD (вертикальные), ∠OAB = ∠OCD (накрест лежащие при AB ∥ CD).
Шаг 2 (а): Коэффициент подобия k = OB/OD = 4/10 = 2/5. Тогда AB/DC = 2/5 → AB = DC · 2/5 = 25 · 2/5 = 10 см.
Шаг 3 (б): k = AB/DC = a/b. Тогда AO/OC = BO/OD = a/b. Пусть AO = ax, OC = bx; BO = ay, OD = by. Отношение AO : OD = ax : by = a : b · (x/y). Но x/y = AO/OC = a/b... Используем свойство: AO/OC = a/b и AO + OC = AC. Тогда AO = AC · a/(a+b). Аналогично OD = BD · b/(a+b).
Ответ: а) AB = 10 см; б) AO = AC · a/(a+b), OD = BD · b/(a+b).
Средний уровень

Задание 6 (№660)

Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу?

Показать подробное решение
а) Пусть острый угол при основании равен α. Тогда второй угол при основании тоже α, а угол при вершине 180° − 2α. У обоих треугольников три угла соответственно равны → подобны по первому признаку. ✅
б) Тупой угол в равнобедренном треугольнике может быть только при вершине. Значит углы при основании равны (180° − тупой)/2 — они одинаковы у обоих треугольников → подобны. ✅
в) Прямой угол может быть только при вершине (иначе два прямых угла — сумма превысит 180°). Значит углы при основании по 45° → подобны. ✅
Ответ: во всех трёх случаях — подобны.
Средний уровень

Задание 7 (№661)

Основания трапеции равны 15 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке M. Найдите расстояния от точки M до концов меньшего основания.

Показать подробное решение
A B C D M 15 8
Шаг 1: △MAB ~ △MDC по первому признаку (∠M — общий, ∠MAB = ∠MDC как соответственные при DC ∥ AB).
Шаг 2: Коэффициент подобия: k = DC/AB = 8/15.
Шаг 3: Пусть MD = x, MC = y. Тогда MA = MD + DA = x + 3,6 (или 3,9 — нужно понять, какая боковая сторона к какому основанию); MB = MC + CB.
Шаг 4: Из подобия: MD/MA = MC/MB = DC/AB = 8/15. Пусть боковые стороны: AD = 3,6, BC = 3,9 (или наоборот — проверим оба случая).
Шаг 5: x/(x + 3,6) = 8/15 → 15x = 8x + 28,8 → 7x = 28,8 → x = 4,11... Не целое. Проверим другой вариант: AD = 3,9, BC = 3,6. Тогда x/(x + 3,9) = 8/15 → 15x = 8x + 31,2 → 7x = 31,2 → x = 31,2/7 ≈ 4,46. Тоже не целое.
Шаг 6: Перечитываем условие: «расстояния от M до концов меньшего основания» — это MD и MC. Из подобия: MD/MC = AD/BC. Но AD и BC — боковые стороны, их отношение = 3,6/3,9 = 12/13 (или 13/12).
Шаг 7: Пусть MD = 12t, MC = 13t. Тогда MA = 12t + AD, MB = 13t + BC. Из подобия: MA/MD = 15/8 → (12t + AD)/(12t) = 15/8 → 1 + AD/(12t) = 15/8 → AD/(12t) = 7/8 → AD = 10,5t.
Шаг 8: Аналогично: MB/MC = 15/8 → (13t + BC)/(13t) = 15/8 → BC = 9,1t.
Шаг 9: Но AD + BC = 3,6 + 3,9 = 7,5 (по условию — это боковые стороны, а не их сумма). Значит AD и BC — это конкретные боковые стороны. Проверим: если AD = 3,6 = 10,5t → t = 3,6/10,5 = 12/35. Тогда BC = 9,1 · 12/35 = 109,2/35 ≈ 3,12 — не совпадает с 3,9.
Шаг 10 (правильный путь): Пусть AD = 3,6, BC = 3,9. Тогда из подобия: MA/MD = AB/DC = 15/8 → MA = 15·MD/8. Но MA = MD + DA = MD + 3,6. Значит MD + 3,6 = 15·MD/8 → 3,6 = 15·MD/8 − MD = 7·MD/8 → MD = 3,6 · 8/7 = 28,8/7 ≈ 4,11 см.
Шаг 11: Аналогично: MB/MC = 15/8, MB = MC + 3,9 → MC + 3,9 = 15·MC/8 → 3,9 = 7·MC/8 → MC = 3,9 · 8/7 = 31,2/7 ≈ 4,46 см.
Шаг 12 (альтернатива): Если AD = 3,9, BC = 3,6: MD = 3,9 · 8/7 = 31,2/7; MC = 3,6 · 8/7 = 28,8/7.
Ответ: расстояния от M до концов меньшего основания равны 28,8/7 см ≈ 4,11 см и 31,2/7 см ≈ 4,46 см (в зависимости от того, какая боковая сторона к какому основанию прилегает).
Средний уровень

Задание 8 (№663)

Стороны угла A пересечены параллельными прямыми AB₁ и CD. Докажите, что отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD.

Показать доказательство
A B C B₁ C₁ OA AC OB BB₁
Шаг 1: △OAB ~ △OCD по первому признаку (∠O — общий, ∠OAB = ∠OCD как соответственные при AB₁ ∥ CD).
Шаг 2: Из подобия: OA/OC = OB/OD.
Шаг 3: OC = OA + AC, OD = OB + BD. Подставим: OA/(OA + AC) = OB/(OB + BD).
Шаг 4: Преобразуем: OA · (OB + BD) = OB · (OA + AC) → OA·OB + OA·BD = OB·OA + OB·AC → OA·BD = OB·AC → OA/OB = AC/BD.
Вывод: отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD. ✅
Средний уровень

Задание 9 (№664)

Стороны угла A пересечены параллельными прямыми BC и DE, причём точки B и D лежат на одной стороне угла, а C и E — на другой. Найдите: а) AC, если CE = 10 см, AD = 22 см, BD = 8 см; б) BD и DE, если AB = 10 см, AC = 8 см, BC = 4 см, CE = 4 см.

Показать подробное решение
A B D C E
Шаг 1: △ABC ~ △ADE по первому признаку (∠A общий, ∠ABC = ∠ADE как соответственные при BC ∥ DE).
а) AD = 22, BD = 8 → AB = AD − BD = 22 − 8 = 14. Коэффициент подобия k = AB/AD = 14/22 = 7/11. Тогда AC/AE = 7/11. AE = AC + CE = AC + 10. Значит AC/(AC + 10) = 7/11 → 11·AC = 7·AC + 70 → 4·AC = 70 → AC = 17,5 см.
б) AB = 10, AC = 8, BC = 4, CE = 4 → AE = AC + CE = 8 + 4 = 12. Коэффициент подобия k = AC/AE = 8/12 = 2/3. Тогда AB/AD = 2/3 → AD = 10 · 3/2 = 15 → BD = AD − AB = 15 − 10 = 5 см. И BC/DE = 2/3 → DE = 4 · 3/2 = 6 см.
Ответ: а) AC = 17,5 см; б) BD = 5 см, DE = 6 см.
Продвинутый уровень

Задание 10 (№669)

Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Показать подробное решение
A B C O 12x 5x 60 60
Шаг 1: Пусть высота AH = 17x (12x + 5x). Центр вписанной окружности O лежит на высоте, OO₁ = 5x — это радиус вписанной окружности r = 5x (так как O равноудалён от основания BC).
Шаг 2: Рассмотрим △ABH: AH — высота, BH = BC/2 (треугольник равнобедренный). По теореме Пифагора: AB² = AH² + BH² → 60² = (17x)² + BH².
Шаг 3: Площадь треугольника: S = ½ · BC · AH = ½ · 2·BH · 17x = 17x · BH.
Шаг 4: Полупериметр: p = (60 + 60 + 2·BH)/2 = 60 + BH.
Шаг 5: Формула радиуса: r = S/p → 5x = 17x · BH / (60 + BH) → 5(60 + BH) = 17·BH → 300 + 5·BH = 17·BH → 300 = 12·BH → BH = 25.
Шаг 6: Основание BC = 2·BH = 50 см.
Шаг 7 (проверка): AH² = 60² − 25² = 3600 − 625 = 2975 → AH = √2975 = 5√119. Тогда 17x = 5√119 → x = 5√119/17. Радиус r = 5x = 25√119/17 ≈ 16,02. Проверим: S = 25 · 5√119 = 125√119; p = 60 + 25 = 85; r = 125√119/85 = 25√119/17 ✅.
Ответ: основание равно 50 см.
Продвинутый уровень

Задание 11 (№670)

В треугольнике ABC сторона AB равна a, а высота CH равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне AB, а две другие — соответственно на сторонах AC и BC.

Показать подробное решение
A B C P Q M N x x h−x a
Шаг 1: Пусть сторона квадрата = x. Квадрат PMNQ: M, N на AB; P на AC, Q на BC.
Шаг 2: △CPQ ~ △CAB по первому признаку (∠C — общий, PQ ∥ AB → ∠CPQ = ∠CAB как соответственные).
Шаг 3: Коэффициент подобия: k = (h − x)/h (отношение высот △CPQ и △CAB).
Шаг 4: PQ/AB = k → x/a = (h − x)/h → x·h = a·(h − x) → x·h = a·h − a·x → x·(h + a) = a·h.
Ответ: сторона квадрата x = a·h / (a + h).
Продвинутый уровень

Задание 12 (№662)

Точки M, N и P лежат соответственно на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC, причём MN ∥ AC, NP ∥ AB. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: а) AB = 10 см, AC = 15 см, PN : MN = 2 : 3; б) AM = AP, AB = a, AC = b.

Показать подробное решение
A B C M N P
Шаг 1: MN ∥ AC → △BMN ~ △BAC. NP ∥ AB → △NPC ~ △ABC.
Шаг 2: Четырёхугольник AMNP — параллелограмм (MN ∥ AP, NP ∥ AM). Значит AM = NP и AP = MN.
а) Пусть BM/BA = t. Тогда MN/AC = t → MN = 15t; BN/BC = t → NP/AC... Нет, △NPC ~ △ABC с коэффициентом (1−t): NP/AB = 1−t → NP = 10(1−t).
Шаг 3: PN : MN = 2 : 3 → 10(1−t) : 15t = 2 : 3 → 30(1−t) = 30t → 1−t = t → t = 1/2.
Шаг 4: Тогда MN = 15·1/2 = 7,5; NP = 10·1/2 = 5. Значит AM = NP = 5, AP = MN = 7,5.
б) AM = AP → параллелограмм AMNP — ромб. Пусть BM/BA = t. MN = b·t, NP = a·(1−t). Условие AM = AP: AM = NP = a(1−t); AP = MN = bt. Значит a(1−t) = bt → a − at = bt → a = t(a + b) → t = a/(a+b).
Шаг 5: AM = a(1 − a/(a+b)) = a·b/(a+b); AP = b·a/(a+b) = ab/(a+b). Все четыре стороны ромба равны ab/(a+b).
Ответ: а) AM = 5 см, AP = 7,5 см, MN = 7,5 см, NP = 5 см; б) все стороны равны ab/(a+b).
Дополнительная задача

Задание 13 (№665)

Прямые a и b пересечены параллельными прямыми, причём точки A, B и C лежат на прямой a, а точки A₁, B₁ и C₁ — на прямой b. Докажите, что AB/BC = A₁B₁/B₁C₁.

Показать доказательство
Шаг 1: Проведём через точку B прямую, параллельную AA₁ (и CC₁). Она пересечёт CC₁ в точке D. Тогда ABB₁A₁ — параллелограмм → AB = A₁B₁... Нет, это не так в общем случае.
Шаг 2 (правильный путь): Соединим A с B₁ и C с B₁. △ABB₁ и △CBB₁ имеют общую высоту (из B₁ на прямую a). Значит их площади относятся как основания: S(ABB₁)/S(CBB₁) = AB/BC.
Шаг 3: Аналогично △A₁BB₁ и △C₁BB₁ имеют общую высоту (из B на прямую b) → S(A₁BB₁)/S(C₁BB₁) = A₁B₁/B₁C₁.
Шаг 4: Но △ABB₁ = △A₁BB₁ (общее основание BB₁ и равные высоты — расстояние между параллельными a и b). Аналогично △CBB₁ = △C₁BB₁.
Вывод: AB/BC = A₁B₁/B₁C₁. ✅
Дополнительная задача

Задание 14 (№671)

Через точку M, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину B проведена прямая, пересекающая сторону AC в точке K. Найдите отношение AK : KC, если: а) M — середина AD; б) AM : MD = 2 : 3.

Показать подробное решение
A C B D M K
Шаг 1: Проведём через D прямую DN ∥ BK (N на AC). В △BCK: D — середина BC (медиана!), DN ∥ BK → N — середина KC (по теореме Фалеса).
Шаг 2: В △ADN: M на AD, MK ∥ DN → AK/KN = AM/MD.
а) M — середина AD → AM/MD = 1 → AK = KN. Но KN = NC (N — середина KC). Значит AK = KN = NC → AK : KC = 1 : 2.
б) AM/MD = 2/3 → AK/KN = 2/3. Пусть AK = 2t, KN = 3t. Тогда KC = 2·KN = 6t (так как N — середина KC). Значит AK : KC = 2t : 6t = 1 : 3.
Ответ: а) 1 : 2; б) 1 : 3.

⚖️ Задачи на доказательство (идеи)

№650 — отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению их высот
Идея: △ABC ~ △A₁B₁C₁ с коэффициентом k. AH и A₁H₁ — высоты к сходственным сторонам BC и B₁C₁. Рассмотрим △ABH и △A₁B₁H₁: ∠B = ∠B₁ (по подобию), ∠AHB = ∠A₁H₁B₁ = 90° → △ABH ~ △A₁B₁H₁ по двум углам. Тогда AH/A₁H₁ = AB/A₁B₁ = k.
№654 — отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия
Идея: △ABC ~ △A₁B₁C₁ с коэффициентом k. Тогда AB = k·A₁B₁, BC = k·B₁C₁, CA = k·C₁A₁. Суммируем: P = k·(A₁B₁ + B₁C₁ + C₁A₁) = k·P₁ → P/P₁ = k.
№658 — на стороне CD параллелограмма отмечена точка E, AE и BC пересекаются в F
а) △FEC ~ △FAB (∠F общий, ∠FEC = ∠FAB как соответственные при EC ∥ AB). k = EC/AB = 4/(8+4) = 4/12 = 1/3. Тогда EF/FA = 1/3 → EF = FA/3. FA = AE + EF = 10 + EF → EF = (10 + EF)/3 → 3·EF = 10 + EF → 2·EF = 10 → EF = 5. FC/BC = 1/3 → FC = BC/3 = 7/3.
б) △FEC ~ △FAB с k = EC/AB = EC/8. FC/(FC + 2) = EC/8 → 8·FC = EC·(FC + 2). Также AD = BC = 5, DE = CD − EC = 8 − EC. Используем подобие △FEC ~ △FAD (∠F общий, ∠FEC = ∠FDA... нет, это не параллельно). Пересмотрим: △FEC ~ △FAB (EC ∥ AB) и △FED ~ △FBC (ED ∥ BC). Из второго: FE/FB = ED/BC = (8−EC)/5. Из первого: FE/FA = EC/8. Решаем систему.

🏗 Блок 3. Практическое применение

🗺️ Продукт урока: «Геодезист: измерение недоступного расстояния»

Ты геодезист. Нужно измерить ширину реки, не переплывая её. На своём берегу ты выбрал дерево A на противоположном берегу и две вехи B и C на своём берегу (BC = 20 м). Затем нашёл точку D на своём берегу такую, что A, D и C лежат на одной прямой, и отмерил DC = 8 м, DB' = 6 м (где B' — точка на прямой DB, причём B', C, A тоже на одной прямой... нет, упростим).

Задача (классическая): на одном берегу реки дерево A. На своём берегу ставишь веху B напротив A. От B идёшь вдоль берега 20 м до точки C. От C идёшь перпендикулярно берегу ещё 8 м до точки D. Оказалось, что A, C и D... нет, это другая конструкция.

Упрощённая задача: ты стоишь у подножия холма. Тень от тебя (рост 1,7 м) имеет длину 2,5 м. В тот же момент тень от столба имеет длину 10 м. Найди высоту столба.

Показать решение геодезиста
1,7 м 2,5 м H = ? 10 м α α
Шаг 1: Солнечные лучи параллельны → углы падения одинаковы. Значит два прямоугольных треугольника (человек-тень и столб-тень) подобны по двум углам (прямой угол и угол α).
Шаг 2: Коэффициент подобия: k = 10/2,5 = 4.
Шаг 3: Высота столба H = 1,7 · 4 = 6,8 м.
Именно так древние египтяне измеряли высоту пирамид — по тени и подобию треугольников! 🏛️

📝 Главное, что нужно запомнить

💡 Методическая подсказка (для учителя или родителя)