Сравни: √(81·4) и
√81 · √4. √(81·4) = √324 = 18 √81 · √4 = 9 · 2 = 18
Результаты совпадают! Это не случайность — это теорема,
которая превращает сложные корни в простые. Сегодня мы докажем её
и научимся применять! 🔑
📘 Теорема 1. Корень из произведения
ТЕОРЕМА 1
Если a ≥ 0 и
b ≥ 0, то
√(a·b) = √a · √b
Словами: корень из произведения неотрицательных
множителей равен произведению корней из этих множителей.
Доказательство. Нужно проверить два условия:
① √a · √b ≥ 0 — верно, так как оба корня
неотрицательны.
② (√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = a · b — верно.
По определению арифметического квадратного корня, теорема доказана. ✅
💡 Теорема распространяется на любое число множителей: √(a·b·c) = √a · √b · √c
(при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0)
📘 Теорема 2. Корень из дроби
ТЕОРЕМА 2
Если a ≥ 0 и
b > 0, то
√(a/b) = √a / √b
Словами: корень из дроби, числитель которой
неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя,
делённому на корень из знаменателя.
⚠️ Обрати внимание: теоремы работают только для
неотрицательных множителей! √(−4 · 9) ≠ √(−4) · √9 — так делать нельзя!
Правильно: √(−4 · 9) не существует,
так как −36 < 0.
Архитектор проектирует прямоугольное окно со сторонами
6 м и 8 м.
Для установки диагональной перемычки нужно найти длину диагонали.
Также нужно проверить, поместится ли окно в проём шириной
11 м при наклоне.
Показать решение архитектора
Шаг 1. По теореме Пифагора диагональ прямоугольника: d = √(a² + b²)
Шаг 2. Подставляем a = 6, b = 8: d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100
Шаг 3. Вычисляем: d = √100 = 10 м
Шаг 4. Проверка ширины проёма:
Диагональ = 10 м
Ширина проёма = 11 м 10 < 11 → окно поместится при наклоне ✅
Ответ: диагональ окна =
10 м.
Окно поместится в проём шириной 11 м. 🏗️
🌍 Где ещё нужны корни из произведений?
• Строительство: диагонали, площади, объёмы
d = √(a²+b²)
• Физика: кинетическая энергия
E = mv²/2 → v = √(2E/m)
• Электротехника: импеданс
Z = √(R² + X²)
• География: расстояние между точками на плоскости
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
🌟 Главное, что нужно запомнить
✅ Теорема 1:√(a·b) = √a · √b при
a ≥ 0, b ≥ 0.
✅ Теорема 2:√(a/b) = √a / √b при
a ≥ 0, b > 0.
✅ Теоремы работают в обе стороны: √a · √b = √(a·b) и
√a / √b = √(a/b).
✅ Для упрощения раскладываем подкоренное выражение
на полные квадраты:
√72 = √(36·2) = 6√2.
✅ Теорема о корне из произведения распространяется
на любое число множителей.
✅ Для разности квадратов:
√(a²−b²) = √((a−b)(a+b)).
💡 Лайфхак: если под корнем большое число —
разложи его на простые множители и вынеси полные квадраты!
💡 Методическая подсказка (для учителя / родителя)
Типичные ошибки:
Применяют теорему к отрицательным множителям:
√(−4·9) ≠ √(−4)·√9.
Путают √(a+b) и
√a + √b — это разные вещи!
Теорема работает только для произведения.
Забывают, что знаменатель должен быть строго положительным
(b > 0, а не
b ≥ 0).
При разложении на множители пропускают полные квадраты.
🪜 Подмостки для слабых учеников:
Дайте таблицу квадратов 1² … 20² для быстрого поиска.
Начните с полных квадратов:
√(4·9), √(16·25), √(36·49).