Пусть длина стороны квадрата равна a см,
а его площадь — S см².
Зависимость площади от стороны: S = a².
А если наоборот? Зная площадь, найти сторону:
a = √S.
Это и есть функция y = √x!
Сегодня мы изучим её свойства и построим график. 📐
📌 Ключевые понятия
Понятие
Определение
Пример
Функция y = √x
Каждому неотрицательному x
ставится в соответствие его арифметический квадратный корень
√4 = 2, √9 = 3
Область определения
Множество неотрицательных чисел:
x ≥ 0
√(−4) не существует
Область значений
Множество неотрицательных чисел:
y ≥ 0
Корень всегда ≥ 0
График
Ветвь параболы в первой координатной четверти,
начинается в начале координат
Кривая, идущая вверх вправо
📘 Таблица значений функции
x
0
0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
0
0,7
1
1,4
1,7
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
📘 Свойства функции y = √x
Свойство 1. Проходит через начало координат
Если x = 0, то
y = √0 = 0.
Точка (0; 0) лежит на графике.
Свойство 2. График в первой четверти
Если x > 0, то
y = √x > 0.
Все точки графика, кроме (0; 0), расположены в первой координатной четверти.
Свойство 3. Функция возрастает
Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
График идёт вверх (слева направо).
Пример: √6 > √3, так как
6 > 3.
💡 Симметрия: график
y = √x симметричен графику
y = x² (при x ≥ 0)
относительно прямой y = x.
Это связано с тем, что если точка
(a; b) лежит на графике
y = x², то точка
(b; a) лежит на графике
y = √x.
а) Точка A(64; 8):
Подставляем x = 64 в функцию:
y = √64 = 8
Полученное значение совпадает с ординатой точки. Ответ: точка принадлежит графику ✅
б) Точка B(10000; 100): y = √10000 = 100
Совпадает с ординатой точки. Ответ: точка принадлежит графику ✅
в) Точка C(−81; 9): x = −81 < 0 — функция не определена
при отрицательных x. Ответ: точка не принадлежит графику ❌
г) Точка D(25; −5): y = √25 = 5, а не
−5.
Арифметический корень всегда неотрицателен! Ответ: точка не принадлежит графику ❌
Итог: принадлежат графику точки A и B;
не принадлежат — C и D. Всё верно! ✅
🔵 Средний
Задание 2 (№ 351 из учебника)
Пересекает ли график функции
y = √x прямая?
Если пересекает, то в какой точке?
а) y = 1
б) y = 10
в) y = 100
г) y = −100
Показать решение
а) Прямая y = 1:
Решаем: √x = 1 x = 1² = 1 Ответ: пересекает в точке
(1; 1) ✅
б) Прямая y = 10: √x = 10 x = 10² = 100 Ответ: пересекает в точке
(100; 10) ✅
в) Прямая y = 100: √x = 100 x = 100² = 10000 Ответ: пересекает в точке
(10000; 100) ✅
г) Прямая y = −100: √x = −100 — невозможно,
так как √x ≥ 0 при любом
допустимом x. Ответ:не пересекает ❌
Вывод: любая горизонтальная прямая
y = c при
c ≥ 0 пересекает график ровно в одной точке.
При c < 0 — не пересекает. Отлично! ✅
🟣 Продвинутый
Задание 3 (№ 353а из учебника)
Имеют ли общие точки графики функций
y = √x и
y = x?
Если да, найдите координаты этих точек.
Показать решение
Шаг 1. Общие точки — это решения системы: y = √x y = x
Приравниваем: √x = x
Шаг 2. Возводим обе части в квадрат
(при x ≥ 0): x = x² x² − x = 0 x(x − 1) = 0
Шаг 3. Корни: x = 0 или
x = 1
Шаг 4. Находим координаты точек:
При x = 0:
y = √0 = 0 → точка
(0; 0)
При x = 1:
y = √1 = 1 → точка
(1; 1)
Шаг 5. Проверка:
Точка (0; 0): √0 = 0 ✅
Точка (1; 1): √1 = 1 ✅
Ответ: графики имеют две общие точки:
(0; 0) и
(1; 1).
Блестяще! 🏆
🏗 Блок 3. Практическое применение
👷 Задача для ландшафтного дизайнера
Дизайнер создаёт три квадратные клумбы с площадями
4 м²,
9 м² и
16 м².
Найдите сторону каждой клумбы и определите,
сколько погонных метров бордюра нужно закупить
для ограждения всех трёх клумб.
Показать решение дизайнера
Шаг 1. Сторона квадрата равна
a = √S.
Это и есть функция
y = √x!
Ответ: стороны клумб —
2 м, 3 м, 4 м;
бордюра нужно 36 м.
Дизайнер доволен! 🌳
🌍 Где ещё используется функция y = √x?
• Строительство: сторона квадрата по площади
a = √S
• Физика: скорость по кинетической энергии
v = √(2E/m)
• Астрономия: радиус орбиты по периоду обращения
r = ∛(T²) (закон Кеплера)
• IT: алгоритмы поиска, хеширование, графика
🌟 Главное, что нужно запомнить
✅ Функция y = √x определена при
x ≥ 0 и принимает значения
y ≥ 0.
✅ График — ветвь параболы в первой координатной четверти,
начинается в точке (0; 0).
✅ Функция возрастает: большему
x соответствует больший
y.
✅ Горизонтальная прямая y = c
при c ≥ 0 пересекает график ровно
в одной точке (c²; c).
✅ При c < 0 прямая
y = c не пересекает график.
✅ График y = √x симметричен
графику y = x²
(при x ≥ 0) относительно прямой
y = x.
💡 Лайфхак: чтобы проверить, принадлежит ли точка
(a; b) графику, подставь
a в функцию и сравни результат с
b.
💡 Методическая подсказка (для учителя / родителя)
Типичные ошибки:
Забывают, что √x ≥ 0:
пишут √25 = ±5, а не
√25 = 5.
Пытаются вычислить √(−a)
для положительного a.
Путают графики y = x² и
y = √x.
При проверке принадлежности точки подставляют
y вместо
x.
🪜 Подмостки для слабых учеников:
Дайте таблицу квадратов 1² … 20² для быстрого поиска корней.
Начните с полных квадратов:
√1, √4, √9, √16, √25.
Постройте график по точкам на клетчатой бумаге —
визуализация помогает понять форму кривой.
Используйте цветные маркеры: один для оси
x, другой для оси
y.
🚀 Вызов для сильных учеников:
№ 352 из учебника: докажите, что графики не имеют общих точек.
№ 354 из учебника: какой из графиков линейных функций
не пересекает график y = √x?
№ 355 из учебника: решите графически уравнение.
№ 356 из учебника: сравните числа, используя свойства функции.
Постройте график y = √(−x)
и объясните, чем он отличается от
y = √x.