Ты уже знаешь график функции y = x² — это
парабола, ветви которой направлены вверх.
Сегодня мы используем этот график, чтобы понять,
сколько корней имеет уравнение
x² = a в зависимости от значения
a. 🎯
📌 Ключевые свойства графика y = x²
Свойство
Формулировка
Следствие
1. Проходит через начало координат
При x = 0 получаем
y = 0
Точка (0; 0) лежит на графике
2. Все точки выше оси x
При x ≠ 0 получаем
y > 0
Парабола лежит в верхней полуплоскости
3. Симметрия относительно оси y
Противоположным значениям x
соответствует одно и то же y
(−3)² = 3² = 9
📘 Три случая решения уравнения x² = a
Случай 1: a < 0 → корней нет
Не существует числа, квадрат которого отрицателен.
Пример: x² = −25 — нет решений ❌
Случай 2: a = 0 → один корень
Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это ноль.
Пример: x² = 0 → x = 0 ✅
Случай 3: a > 0 → два корня
Прямая y = a пересекает параболу в двух
симметричных точках: x₁ = √a и
x₂ = −√a
Пример: x² = 6,25 → x = ±2,5 ✅
Итог: при a > 0 уравнение
x² = a имеет два корня:
x = √a и x = −√a.
При a = 0 — один корень:
x = 0.
При a < 0 — корней нет.
📘 Пример 1. Решение уравнений
а)x² = 6,25 x = ±√6,25 = ±2,5 ✅
Проверка: 2,5² = 6,25 и
(−2,5)² = 6,25 ✅
Архитектор проектирует квадратное окно площадью
2,56 м². Нужно найти длину стороны окна
и длину диагонали (для установки перемычки). Также нужно проверить,
поместится ли окно в проём высотой 2 м.
Показать решение архитектора
Шаг 1. Сторона квадрата: a² = 2,56 → a = √2,56 = 1,6 м
Проверка: 1,6² = 2,56 ✅
Шаг 3. Проверка высоты проёма:
Сторона окна = 1,6 м
Высота проёма = 2 м 1,6 < 2 → окно помещается ✅
Но диагональ 2,26 м > 2 м —
при наклоне окно не пройдёт! ⚠️
Ответ: сторона = 1,6 м,
диагональ ≈ 2,26 м.
Окно помещается в проём только вертикально. 🏗️
🌍 Где ещё используется уравнение x² = a?
• Физика: расчёт скорости при свободном падении
v² = 2gh → v = √(2gh)
• Электротехника: мощность и напряжение
P = U²/R → U = √(PR)
• Астрономия: орбитальные скорости планет
🌟 Главное, что нужно запомнить
✅ Уравнение x² = a при
a > 0 имеет два корня:
x = √a и
x = −√a.
✅ При a = 0 — один корень:
x = 0.
✅ При a < 0 — корней нет.
✅ График y = x² — парабола,
симметричная относительно оси y, вершина в начале координат.
✅ (√a)² = a при
a ≥ 0.
✅ Если a — не полный квадрат,
корни иррациональны (например, √2, √3, √7).
💡 Лайфхак: для уравнения вида
(f(x))² = a сначала находим
f(x) = ±√a, затем решаем
два простых уравнения.
💡 Методическая подсказка (для учителя / родителя)
Типичные ошибки:
Забывают второй (отрицательный) корень: пишут только
x = √a, забывая
x = −√a.
Путают √(x²) и
x: на самом деле
√(x²) = |x|.
Неправильно возводят произведение в квадрат:
(3√5)² = 9 · 5 = 45,
а не 3√25.
При решении (x−a)² = b забывают
раскрыть скобки с двумя знаками ±.
🪜 Подмостки для слабых учеников:
Дайте таблицу квадратов 1² … 20² для быстрого поиска.