Площадь квадрата равна 64 см². Чему равна его сторона?
Обозначим сторону x см.
Тогда площадь: x² = 64.
Корни уравнения: x = 8 и
x = −8.
Но длина не может быть отрицательной! Значит, сторона = 8 см.
Вот так мы пришли к понятию арифметического квадратного корня —
это неотрицательный корень. 🌱
📌 Ключевые понятия
Понятие
Определение
Пример
Квадратный корень из a
Число, квадрат которого равен a
Корни из 64: это 8 и −8
Арифметический квадратный корень
Неотрицательное число, квадрат которого равен
a
√64 = 8
Радикал
Знак √
(от лат. radix — корень)
В выражении √25 знак радикала — это
√
Подкоренное выражение
Выражение, стоящее под знаком радикала
В √(x+3) подкоренное выражение —
x + 3
Определение:√a = b означает, что выполняются
два условия:
① b ≥ 0 (число неотрицательное)
② b² = a (квадрат равен подкоренному выражению)
⚠️ Важно: при a < 0 выражение
√aне имеет смысла,
потому что не существует числа, квадрат которого отрицателен.
Например, √(−4) — не существует!
📘 Пример 1. Нахождение арифметических квадратных корней
√4 = 2, так как
2 ≥ 0 и 2² = 4 ✅
√1,21 = 1,1, так как
1,1 ≥ 0 и
1,1² = 1,21 ✅
√0 = 0, так как
0 ≥ 0 и 0² = 0 ✅
📘 Пример 2. Решение уравнения с квадратным корнем
Решим уравнение: √(5x − 1) = 7
Шаг 1. Из определения арифметического квадратного корня следует,
что подкоренное выражение равно квадрату правой части: 5x − 1 = 7² 5x − 1 = 49
Шаг 2. Решаем линейное уравнение: 5x = 50 x = 10
Шаг 3. Проверка: √(5·10 − 1) = √49 = 7 ✅
Ответ: x = 10
📘 Пример 3. Когда выражение не имеет смысла
Выясним, при каких выражениях корень не существует:
√100 = 10 — имеет смысл ✅ √(−100) — не имеет смысла ❌
(подкоренное выражение отрицательное) −√100 = −10 — имеет смысл ✅
(минус перед корнем, а не под ним) √(−10)² = √100 = 10 — имеет смысл ✅
(сначала возводим в квадрат) √((−25)·(−4)) = √100 = 10 — имеет смысл ✅ √(−25·4) = √(−100) — не имеет смысла ❌
а)√81 = 9,
так как 9 ≥ 0 и
9² = 81 ✅ б)√36 = 6,
так как 6 ≥ 0 и
6² = 36 ✅ в)√1600 = 40,
так как 40 ≥ 0 и
40² = 1600 ✅ г)√10000 = 100,
так как 100 ≥ 0 и
100² = 10000 ✅ д)√0,04 = 0,2,
так как 0,2 ≥ 0 и
0,2² = 0,04 ✅ е)√0,81 = 0,9,
так как 0,9 ≥ 0 и
0,9² = 0,81 ✅
Ответы: 9; 6; 40; 100; 0,2; 0,9. Всё верно! ✅
🔵 Средний
Задание 2 (№ 294 из учебника)
Найдите значение выражения:
а) √x + √9 при
x = 25 и при
x = 0,36
б) √(4 − 2a) при
a = 2 и при
a = −22,5
Показать решение
а)√x + √9
При x = 25:
√25 + √9 = 5 + 3 = 8 ✅
При x = 0,36:
√0,36 + √9 = 0,6 + 3 = 3,6 ✅
б)√(4 − 2a)
При a = 2:
√(4 − 4) = √0 = 0 ✅
При a = −22,5:
√(4 − 2·(−22,5)) = √(4 + 45) = √49 = 7 ✅
Ответы:
а) x = 2/3;
б) x = 0;
в) x = −24;
г) x = 0,25.
Ты справился! 🎉
🏗 Блок 3. Практическое применение
👷 Задача для ландшафтного дизайнера
Дизайнер планирует выложить квадратную площадку из тротуарной плитки.
Площадь площадки — 12,25 м².
Найдите длину стороны площадки и определите, сколько погонных метров
бордюра нужно закупить для ограждения.
Показать решение дизайнера
Шаг 1. Сторона квадрата равна арифметическому квадратному
корню из площади: a = √S = √12,25
Шаг 2. Находим корень: √12,25 = 3,5,
так как 3,5² = 12,25 ✅
Шаг 3. Сторона площадки:
a = 3,5 м
Шаг 4. Периметр (длина бордюра): P = 4a = 4 · 3,5 = 14 м
Шаг 5. Проверка: 3,5² = 12,25 ✅ 4 · 3,5 = 14 ✅
Ответ: сторона площадки
3,5 м,
бордюра нужно 14 м.
Дизайнер доволен! 🌳
🌍 Где ещё нужны квадратные корни?
• Строительство: расчёт диагоналей, проверка прямых углов
• Физика: скорость, ускорение, время падения
t = √(2h/g)
• География: расчёт расстояния до горизонта
d ≈ √(2Rh)
• IT: алгоритмы машинного обучения, обработка изображений
🌟 Главное, что нужно запомнить
✅ Квадратный корень из числа a —
это число, квадрат которого равен a.
✅ Арифметический квадратный корень — это
неотрицательное число, квадрат которого равен
a. Обозначается
√a.
✅ Два условия: √a = b означает
b ≥ 0 и
b² = a.
✅ При a < 0 выражение
√aне имеет смысла.
✅ Для решения уравнения √(f(x)) = c
(где c ≥ 0) возводим обе части в квадрат:
f(x) = c².
✅ Минус перед корнем допустим:
−√9 = −3. Минус под корнем — нет:
√(−9) не существует.
💡 Лайфхак: после возведения в квадрат всегда делай
подстановку ответа в исходное уравнение!
💡 Методическая подсказка (для учителя / родителя)
Типичные ошибки:
Путают квадратный корень и арифметический квадратный корень:
уравнение x² = 25 имеет два корня
(±5), а
√25 = 5 — только один.
Забывают, что подкоренное выражение должно быть
≥ 0.
При решении уравнений возводят в квадрат, но не проверяют,
что правая часть была неотрицательной.