📖 Материал по учебнику «Алгебра 8 класс». Навигация — внизу страницы, полный список уроков — на главной странице курса.
🧠 Блок 1. Изучение
Разминка: Скорость и время
Представь, что ты едешь на велосипеде 60 км. Если едешь со скоростью 30 км/ч, доедешь за 2 часа. А если 60 км/ч — за 1 час. Чем быстрее едешь, тем меньше времени тратишь! Это и есть обратная пропорциональность: одна величина растёт, другая падает. В алгебре это описывается формулой y = k/x.
Ключевые термины
Термин
Определение простым языком
Обратная пропорциональность
Функция вида y = k/x, где k ≠ 0. При увеличении x в n раз, y уменьшается в n раз.
Коэффициент k
Число, которое показывает «силу» связи. Равно произведению x·y для любой точки графика.
Область определения
Все числа, кроме 0 (на ноль делить нельзя!).
Гипербола
График функции y = k/x — кривая из двух ветвей.
Ветви гиперболы
Две отдельные кривые. При k > 0 — в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV.
Асимптота
Линия, к которой график бесконечно приближается, но никогда не касается (оси x и y).
Симметрия
Гипербола симметрична относительно начала координат (точки (0; 0)).
⚠️ Главные правила
Правило 1: Определение обратной пропорциональности
Функция вида y = k/x, где x — независимая переменная, а k — ненулевое число, называется обратной пропорциональностью.
y = kx, где k ≠ 0
Правило 2: Область определения
Область определения функции y = k/x — множество всех чисел, кроме нуля. Это следует из того, что выражение k/x имеет смысл при всех x ≠ 0.
Правило 3: Свойство обратной пропорциональности
Если x₁ и x₂ — два значения аргумента, а y₁ и y₂ — соответствующие значения функции, то:
x₁x₂ = y₂y₁
Отношение двух произвольных значений аргумента равно обратному отношению соответствующих значений функции.
Правило 4: График функции y = k/x
Графиком обратной пропорциональности является гипербола — кривая, состоящая из двух ветвей.
Правило 5: Расположение ветвей гиперболы
• При k > 0 ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях
• При k < 0 ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях
Блок 2. Закрепление
От теории к практике! Решаем задачи из учебника (§8, упражнения 181–198).
🟢 Базовый уровень
Задание 1 (№181 из учебника)
Функция задана формулой y = 8/x. Перечертите таблицу и заполните её:
x
-4
-2
-0.25
2
5
16
y
?
?
?
?
?
?
Показать подробное решение
Шаг 1: Используем формулу y = 8/x. Для каждого x вычисляем y.
Шаг 2: Вычисляем значения:
• При x = -4: y = 8/(-4) = -2
• При x = -2: y = 8/(-2) = -4
• При x = -0.25: y = 8/(-0.25) = -32
• При x = 2: y = 8/2 = 4
• При x = 5: y = 8/5 = 1.6
• При x = 16: y = 8/16 = 0.5
Шаг 3: Заполняем таблицу:
Ответ:
x
-4
-2
-0.25
2
5
16
y
-2
-4
-32
4
1.6
0.5
Проверка: x · y = 8 для всех пар: (-4)·(-2) = 8 ✓, (-2)·(-4) = 8 ✓, (-0.25)·(-32) = 8 ✓, 2·4 = 8 ✓, 5·1.6 = 8 ✓, 16·0.5 = 8 ✓. Всё верно! ✅
Средний уровень
Задание 2 (№188 из учебника)
Постройте график функции:
а) y = 6x; б) y = -6x; в) y = 1x; г) y = -1x; д) y = 3x; е) y = -3x
Показать подробное решение
Шаг 1: Определяем знак k для каждой функции:
• а) k = 6 > 0 → ветви в I и III четвертях
• б) k = -6 < 0 → ветви во II и IV четвертях
• в) k = 1 > 0 → ветви в I и III четвертях
• г) k = -1 < 0 → ветви во II и IV четвертях
• д) k = 3 > 0 → ветви в I и III четвертях
• е) k = -3 < 0 → ветви во II и IV четвертях
Шаг 2: Для каждой функции находим несколько точек. Например, для y = 6/x:
• x = 1, y = 6
• x = 2, y = 3
• x = 3, y = 2
• x = 6, y = 1
• x = -1, y = -6
• x = -2, y = -3
• x = -3, y = -2
• x = -6, y = -1
Шаг 3: Отмечаем точки на координатной плоскости и соединяем плавной кривой.
Ответ: Все шесть графиков — гиперболы. При k > 0 (а, в, д) ветви в I и III четвертях, при k < 0 (б, г, е) — во II и IV. Чем больше |k|, тем дальше ветви от начала координат. ✅
🟣 Продвинутый уровень
Задание 3 (№194 из учебника)
На рисунке построен график зависимости времени, затрачиваемого на путь из пункта A в пункт B, от скорости движения. С помощью графика ответьте на вопросы:
а) Сколько времени потребуется на путь при скорости 80 км/ч? 25 км/ч? 40 км/ч?
б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться за 1 ч? за 4 ч? за 8 ч? за 16 ч?
в) Каково расстояние между пунктами A и B?
Показать подробное решение
Шаг 1: Определяем расстояние. Из графика видно, что при скорости 40 км/ч время равно 2 ч. Значит, расстояние s = v · t = 40 · 2 = 80 км.
Шаг 2: Формула зависимости: t = 80/v (обратная пропорциональность).
Шаг 3: Ответ на вопрос а):
• При v = 80 км/ч: t = 80/80 = 1 ч
• При v = 25 км/ч: t = 80/25 = 3.2 ч (3 ч 12 мин)
• При v = 40 км/ч: t = 80/40 = 2 ч
Шаг 4: Ответ на вопрос б):
• При t = 1 ч: v = 80/1 = 80 км/ч
• При t = 4 ч: v = 80/4 = 20 км/ч
• При t = 8 ч: v = 80/8 = 10 км/ч
• При t = 16 ч: v = 80/16 = 5 км/ч
Ответ:
а) 1 ч; 3.2 ч; 2 ч
б) 80 км/ч; 20 км/ч; 10 км/ч; 5 км/ч
в) Расстояние между A и B = 80 км Проверка: 80·1 = 80 ✓, 25·3.2 = 80 ✓, 40·2 = 80 ✓. Всё верно! ✅
Средний уровень
Задание 4 (№195 из учебника)
Определите знак числа k, зная, что график функции y = k/x расположен:
а) в первой и третьей координатных четвертях;
б) во второй и четвёртой координатных четвертях.
Показать подробное решение
Шаг 1: Вспоминаем правило расположения ветвей гиперболы.
Шаг 2: Если ветви в I и III четвертях, то k > 0 (положительное число).
Шаг 3: Если ветви во II и IV четвертях, то k < 0 (отрицательное число).
Ответ:
а) k > 0
б) k < 0 Примеры: y = 5/x (k = 5 > 0) — ветви в I и III; y = -5/x (k = -5 < 0) — ветви во II и IV. ✅
Дополнительные упражнения для практики
Реши самостоятельно и проверь ответы!
🟢 Базовый уровень
1. Найди значение y при x = 4, если y = 20/x
2. Принадлежит ли точка A(2; 6) графику y = 12/x?
3. В каких четвертях расположен график y = -7/x?
4. Найди k, если график проходит через точку (3; 4)
🔵 Средний уровень
5. Заполни таблицу для y = 10/x: x = -5, -2, -1, 1, 2, 5
6. Построй график y = 4/x и найди y при x = 0.5
7. Докажи, что если (a; b) лежит на графике y = k/x, то (-a; -b) тоже лежит
8. Найди все целые значения x, при которых y = 12/x — целое число
Продвинутый уровень
9. График y = k/x проходит через (2; 6). Найди k и построй график
10. Докажи, что произведение координат любой точки гиперболы y = k/x равно k
11. Сравни графики y = 2/x и y = 8/x. Какой дальше от начала координат?
12. Реши графически уравнение 6/x = x
Показать ответы для самопроверки
Ответы:
1. y = 5
2. Да, 2·6 = 12 ✓
3. Во II и IV четвертях
4. k = 12
5. y = -2, -5, -10, 10, 5, 2
6. y = 8
7. Если ab = k, то (-a)(-b) = ab = k ✓
8. x = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
9. k = 12, график y = 12/x
10. x·y = x·(k/x) = k ✓
11. y = 8/x дальше (|k| больше)
12. x = ±√6 ≈ ±2.45
🏗 Блок 3. Практическое применение
🚗 Задача для инженера-логиста
Ты планируешь доставку груза из Москвы в Санкт-Петербург (расстояние 700 км). Время в пути зависит от скорости по формуле t = 700/v. Построй график этой зависимости и определи:
а) Сколько времени займёт поездка при скорости 100 км/ч? 140 км/ч?
б) С какой скоростью нужно ехать, чтобы доехать за 5 ч? за 7 ч?
в) Почему нельзя подставить v = 0?
Показать решение инженера
Шаг 1: Формула: t = 700/v (обратная пропорциональность, k = 700).
Шаг 2: Ответ на вопрос а):
• При v = 100 км/ч: t = 700/100 = 7 ч
• При v = 140 км/ч: t = 700/140 = 5 ч
Шаг 3: Ответ на вопрос б):
• При t = 5 ч: v = 700/5 = 140 км/ч
• При t = 7 ч: v = 700/7 = 100 км/ч
Шаг 4: При v = 0 формула t = 700/0 не имеет смысла (на ноль делить нельзя!). Физически это означает: если машина не движется, она никогда не доедет.
Ответ:
а) 7 ч; 5 ч
б) 140 км/ч; 100 км/ч
в) При v = 0 деление на ноль невозможно — машина не движется. Проверка: 100·7 = 700 ✓, 140·5 = 700 ✓. Всё верно! 🚗
Главное, что нужно запомнить
Формула: y = k/x, где k ≠ 0 — обратная пропорциональность.
Область определения: все числа, кроме 0 (x ≠ 0).
График: гипербола из двух ветвей.
Расположение ветвей: при k > 0 — в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV.
Свойство: x₁/x₂ = y₂/y₁ (отношение значений аргумента равно обратному отношению значений функции).
Произведение координат: для любой точки (x; y) на графике x·y = k.
💡 Лайфхак: чем больше |k|, тем дальше ветви гиперболы от начала координат.
💡 Симметрия: гипербола симметрична относительно начала координат (0; 0).
💡 Методическая подсказка (для учителя / родителя)
🎯 Типичные ошибки:
Путаница с четвертями: ученики часто путают, где расположены ветви при k > 0 и k < 0. Напоминайте: «плюс — плюс и минус-минус» (I и III), «минус — плюс-минус и минус-плюс» (II и IV).
Деление на ноль: забывают, что x ≠ 0. Требуйте всегда проверять область определения.
Неправильное построение: соединяют ветви гиперболы через ноль. Подчёркивайте, что это две отдельные кривые!
Потеря знака: при вычислении y для отрицательных x забывают минус в ответе.
🪜 Подмостки для слабых учеников:
Дайте таблицу-шаблон: сначала вычислить k = x·y, потом проверять все точки.
Используйте цветные маркеры: ветви при k > 0 — зелёным, при k < 0 — красным.
Начните с простых k (1, 2, -1, -2), потом переходите к дробным.
🚀 Вызов для сильных учеников:
Задача №198 из учебника (доказать, что значение дроби не зависит от переменных).
Попросите их исследовать, как меняется график при изменении k (анимация или серия графиков).
Задача на нахождение k по двум точкам и доказательство, что они лежат на одной гиперболе.
Исследуйте симметрию гиперболы относительно прямой y = x и y = -x.