Учебный курс • Алгебра, 8 класс

✖️ Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Урок 5 • Глава 1, §5

📖 Материал по учебнику «Алгебра 8 класс». Навигация — внизу страницы, полный список уроков — на главной странице курса.

Блок 1. Изучение

🪝 Разминка: Рецепт пирога

Представь, что ты готовишь пирог по рецепту. Тебе нужно 23 стакана муки, но ты хочешь приготовить только половину порции. Сколько муки нужно? Правильно — 23 · 12 = 26 = 13 стакана! В алгебре мы умножаем дроби так же: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. А потом сокращаем! 🥧

📚 Ключевые термины

Термин	Определение простым языком
Умножение дробей	Правило: числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель.
Возведение дроби в степень	Возводим в степень и числитель, и знаменатель отдельно.
Обратная дробь	Дробь, у которой числитель и знаменатель поменялись местами (например, 35 и 53).
Сокращение	Деление числителя и знаменателя на общий множитель (упрощение дроби).
Многочлен как дробь	Любой многочлен можно записать как дробь со знаменателем 1 (например, x + 2 = (x+2)/1).
Степень дроби	Запись вида abⁿ, где n — показатель степени.

⚠️ Главные правила

Правило 1: Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первое произведение записать в числитель, второе — в знаменатель.

ab · cd = a · cb · d

Правило 2: Возведение дроби в степень
Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель отдельно.

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Правило 3: Умножение дроби на многочлен
При умножении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби со знаменателем 1, а затем применяют правило умножения дробей.

ab · c = ab · c1 = a · cb

🛠 Блок 2. Закрепление

От теории к практике! Решаем задачи из учебника, не забывая сокращать результат.

🟢 Базовый уровень

Задание 1 (№112б из учебника)

Выполните умножение:

8c15m · 5m6c

Показать подробное решение

Шаг 1: Применяем правило умножения дробей: числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель.
8c · 5m15m · 6c

Шаг 2: Выполняем умножение в числителе и знаменателе:
Числитель: 8c · 5m = 40cm
Знаменатель: 15m · 6c = 90cm

Шаг 3: Записываем дробь:
40cm90cm

Шаг 4: Сокращаем дробь. Общий множитель числителя и знаменателя: 10cm.
40cm : 10cm = 4
90cm : 10cm = 9

Ответ: 49.
Проверка: Подставим c=3, m=2. Исходная: (24/30) · (10/18) = (4/5) · (5/9) = 20/45 = 4/9. Ответ: 4/9. Всё верно! ✅

Средний уровень

Задание 2 (№121а из учебника)

Выполните умножение:

x - 1x · xx + 1

Показать подробное решение

Шаг 1: Применяем правило умножения дробей:
(x - 1) · xx · (x + 1)

Шаг 2: Видим общий множитель x в числителе и знаменателе. Сокращаем на x (при условии x ≠ 0):
(x - 1) · xx · (x + 1) = x - 1x + 1

Шаг 3: Проверяем, можно ли ещё сократить. Числитель x - 1 и знаменатель x + 1 общих множителей не имеют.

Ответ: x - 1x + 1 (при x ≠ 0, x ≠ -1).
Проверка: Подставим x = 2. Исходная: (1/2) · (2/3) = 2/6 = 1/3. Ответ: (2-1)/(2+1) = 1/3. Всё верно! ✅

🟣 Продвинутый уровень

Задание 3 (№114а из учебника)

Упростите выражение:

48x⁷y16x³ · 7y25y

Показать подробное решение

Шаг 1: Применяем правило умножения дробей:
48x⁷y · 7y16x³ · 25y

Шаг 2: Выполняем умножение в числителе и знаменателе:
Числитель: 48 · 7 = 336, x⁷ остаётся, y · y = y². Итого: 336x⁷y².
Знаменатель: 16 · 25 = 400, x³ остаётся, y остаётся. Итого: 400x³y.

Шаг 3: Записываем дробь:
336x⁷y²400x³y

Шаг 4: Сокращаем числовую часть. НОД(336, 400) = 16.
336 : 16 = 21
400 : 16 = 25

Шаг 5: Сокращаем переменные:
x⁷ : x³ = x⁴ (вычитаем показатели: 7 - 3 = 4)
y² : y = y (вычитаем показатели: 2 - 1 = 1)

Ответ: 21x⁴y25.
Проверка: Подставим x=2, y=3. Исходная: (48·128·3)/(16·8) · (21)/(75) = (18432/128) · (21/75) = 144 · 0.28 = 40.32. Ответ: (21·16·3)/25 = 1008/25 = 40.32. Всё верно! ✅

🏗 Блок 3. Практическое применение

👨‍🍳 Задача для шеф-повара

Ты готовишь торт по рецепту, где нужно 34 стакана сахара. Но ты хочешь приготовить только 23 от рецепта. Сколько сахара нужно? А если рецепт требует xy стакана муки, и ты готовишь yx от рецепта?

Показать решение шеф-повара

Шаг 1: Задача про сахар (числовой пример):
34 · 23 = 3 · 24 · 3 = 612 = 12 стакана сахара.

Шаг 2: Задача про муку (алгебраический пример):
xy · yx = x · yy · x = xyxy = 1 стакан муки.

Ответ: Нужно 12 стакана сахара и 1 стакан муки. Интересный факт: когда умножаем дробь на обратную, всегда получается 1! 🎂

Главное, что нужно запомнить

Умножение дробей: числитель × числитель, знаменатель × знаменатель.
Возведение в степень: возводим числитель и знаменатель отдельно: abⁿ = aⁿbⁿ.
Многочлен как дробь: любой многочлен можно записать со знаменателем 1.
Сокращение: всегда сокращай результат умножения, если есть общие множители.
⚠️ ОДЗ: помни про допустимые значения переменных (знаменатель ≠ 0).
💡 Лайфхак: дробь × обратная дробь = 1 (например, 35 · 53 = 1).

💡 Методическая подсказка (для учителя / родителя)

🎯 Типичные ошибки:

Перекрёстное умножение: ученики иногда умножают числитель первой дроби на знаменатель второй. Напоминайте: числитель × числитель, знаменатель × знаменатель!
Забытое сокращение: после умножения забывают сократить результат. Требуйте всегда проверять, есть ли общие множители.
Потеря ОДЗ: при сокращении переменных забывают указывать ограничения (например, x ≠ 0).

🪜 Подмостки для слабых учеников:

Разрешите сначала умножать «в лоб» (получать большие числа), а потом сокращать. Это проще, чем сокращать до умножения.
Используйте цветные маркеры: числители — синим, знаменатели — красным. Общие множители обводить в кружок.

Вызов для сильных учеников:

Задача №126 из учебника (найти значение выражения после упрощения) — требует внимательности и проверки ОДЗ.
Попросите их доказать, что (ab)ⁿ = aⁿbⁿ через определение степени.